(икс-3) (Икс+1) (Икс+4) меньше0

Чтобы решить неравенство \((x-3)(x+1)(x+4) < 0\), давайте сначала найдем нули данного выражения, то есть значения \(x\), при которых произведение равно нулю. Это происходит, когда любой из множителей равен нулю:

1. \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
2. \(x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
3. \(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)

Таким образом, нули функции: \(x = -4\), \(x = -1\), и \(x = 3\). Теперь нам нужно разделить числовую ось на интервалы, используя найденные нули:

1. \((-∞, -4)\)
2. \((-4, -1)\)
3. \((-1, 3)\)
4. \((3, +∞)\)

Теперь проверим знак произведения в каждом из этих интервалов, подставляя тестовые значения:

1. Для интервала \((-∞, -4)\) возьмём, например, \(x = -5\): \[ (-5-3)(-5+1)(-5+4) = (-8)(-4)(-1) = -32 \quad (< 0) \] Значит, в этом интервале выражение меньше нуля.

2. Для интервала \((-4, -1)\) возьмём \(x = -2\): \[ (-2-3)(-2+1)(-2+4) = (-5)(-1)(2) = 10 \quad (> 0) \] Здесь выражение больше нуля.

3. Для интервала \((-1, 3)\) возьмём \(x = 0\): \[ (0-3)(0+1)(0+4) = (-3)(1)(4) = -12 \quad (< 0) \] В этом интервале выражение снова меньше нуля.

4. Для интервала \((3, +∞)\) возьмём \(x = 4\): \[ (4-3)(4+1)(4+4) = (1)(5)(8) = 40 \quad (> 0) \] Здесь выражение больше нуля.

Теперь мы имеем знаки произведения на каждом интервале:

• \((-∞, -4)\): < 0
• \((-4, -1)\): > 0
• \((-1, 3)\): < 0
• \((3, +∞)\): > 0

Так как мы ищем, когда \((x-3)(x+1)(x+4) < 0\), то решения будут в интервалах:

\[ (-∞, -4) \quad и \quad (-1, 3) \]

Теперь мы можем записать окончательный ответ:

\[ x \in (-∞, -4) \cup (-1, 3) \]

Таким образом, это все возможные значения \(x\), при которых данное неравенство выполняется.