На доске написано число . Если число на доске чётное, то его стирают, а вместо него записывают число, меньшее в раза. Если же число на доске нечётное, то его стирают, а вместо…
На доске написано число . Если число на доске чётное, то его стирают, а вместо него записывают число, меньшее в раза. Если же число на доске нечётное, то его стирают, а вместо него записывают число, большее на . Верно ли, что такая последовательность зациклится? Если она зациклится, то введите через пробел все числа, встречающиеся в её наименьшем периоде (каждое по одному разу). Если не зациклится, введите .
Давайте рассмотрим данное условие. Пусть на доске начальное число \( n \).
- Если \( n \) четное, то следующее число будет \( \frac{n}{2} \).
- Если \( n \) нечетное, следующее число будет \( n + 1 \).
Теперь проанализируем поведение последовательности:
- Начнем с четного числа \( n \). Каждый раз, когда мы делим его на 2, оно продолжает уменьшаться, пока не станет нечетным.
- Как только число становится нечетным, мы прибавляем 1, и оно снова становится четным.
- Затем мы делим это четное число на 2 и процесс повторяется.
Четные числа продолжают делиться до тех пор, пока не достигнут 1, после чего следующее число станет 2 (прибавив 1 к нечетному 1).
Рассмотрим подробный пример:
- Начнем с четного числа \( 8 \):
- \( 8 \) -> \( 4 \)
- \( 4 \) -> \( 2 \)
- \( 2 \) -> \( 1 \)
- \( 1 \) -> \( 2 \) (и мы вернулись к \( 2 \), что продолжит цикл)
Таким образом, последовательность зациклится. Период цикла будет: \( 1 \) и \( 2 \).
Поэтому ответ будет:
1 2
Если вы начнете с любого четного числа, то в конечном итоге вы всегда получите цикл, включающий числа \( 1 \) и \( 2 \).
