Антон считает, что раскрыл секрет бесконечных денег. Банк Антона обещает кэшбек в 20% от суммы, потраченной за месяц в его любимом кафе. План Антона не очень сложный: он решил…
Антон считает, что раскрыл секрет бесконечных денег. Банк Антона обещает кэшбек в 20% от суммы, потраченной за месяц в его любимом кафе. План Антона не очень сложный: он решил единоразово положить на карточку 10000 рублей, а затем каждый месяц тратить на кафе все деньги на карте, включая кэшбек, начисленный за предыдущий месяц. На какую сумму сможет закупиться Антон за все время, если будет проворачивать свой план бесконечно долго? Ответ укажите в рублях, при необходимости округлив до целого.
План Антона осуществим, и давайте разберемся, как он будет работать. Он начинает с 10,000 рублей и тратит все деньги, которые у него есть на карточке, включая кэшбек.
Каждый месяц он получает 20% от потраченной суммы в качестве кэшбэка. Если обозначить сумму, которую Антон тратит в месяце \( S \), то кэшбек будет составлять \( 0.2S \).
Каждый месяц он тратит всё, что у него есть на карточке. Давайте посмотрим, как это будет выглядеть:
Первый месяц:
- Антон тратит 10,000 рублей.
- Кэшбек: \( 0.2 \times 10,000 = 2,000 \) рублей.
- На следующий месяц у него будет: \( 0 + 2,000 = 2,000 \) рублей.
Второй месяц:
- Антон тратит 2,000 рублей.
- Кэшбек: \( 0.2 \times 2,000 = 400 \) рублей.
- На следующий месяц у него будет: \( 0 + 400 = 400 \) рублей.
Третий месяц:
- Антон тратит 400 рублей.
- Кэшбек: \( 0.2 \times 400 = 80 \) рублей.
- На следующий месяц у него будет: \( 0 + 80 = 80 \) рублей.
Четвертый месяц:
- Антон тратит 80 рублей.
- Кэшбек: \( 0.2 \times 80 = 16 \) рублей.
- На следующий месяц у него будет: \( 0 + 16 = 16 \) рублей.
Пятый месяц:
- Антон тратит 16 рублей.
- Кэшбек: \( 0.2 \times 16 = 3.2 \) рублей.
- На следующий месяц у него будет: \( 0 + 3.2 = 3.2 \) рублей.
Каждый раз, когда он тратит, его кэшбек уменьшается, и в итоге потраченные деньги составляют геометрическую прогрессию.
Теперь мы можем рассчитать общую сумму, которую Антон сможет потратить за все время. Сумма бесконечной геометрической прогрессии дается формулой:
\[ S = \frac{a}{1 - r} \]
где \( a \) — первый член, а \( r \) — отношение между членами прогрессии. В нашем случае:
- Первый член (деньги, потраченные в первом месяце) \( a = 10,000 \).
- Отношение \( r = 0.2 \) (так как каждый месяц он получает 20% от своего расхода).
Подставим значения:
\[ S = \frac{10,000}{1 - 0.2} = \frac{10,000}{0.8} = 12,500 \]
Таким образом, за все время Антон сможет потратить 12,500 рублей.
