Периметр равен 48 см гипотенуза равна 20 см кадеты а и б неизвестно
Для решения данной задачи начнем с определения, что вы описываете прямоугольный треугольник, где известны периметр и гипотенуза. Обозначим катеты как \(a\) и \(b\).
Периметр прямоугольного треугольника равен сумме всех его сторон, то есть: \[ P = a + b + c, \] где \(c\) — это гипотенуза.
У вас указано, что периметр \(P = 48\) см, а гипотенуза \(c = 20\) см. Подставляем известные значения в формулу: \[ 48 = a + b + 20. \]
Теперь можно выразить сумму катетов: \[ a + b = 48 - 20 = 28. \]
Таким образом, у нас есть одно уравнение: \[ a + b = 28. \]
Также помним, что для прямоугольного треугольника выполняется теорема Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2. \] Подставляя значение гипотенузы, получаем: \[ a^2 + b^2 = 20^2 = 400. \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( a + b = 28 \)
- \( a^2 + b^2 = 400 \)
Из первого уравнения можем выразить \(b\): \[ b = 28 - a. \]
Подставим это значение во второе уравнение: \[ a^2 + (28 - a)^2 = 400. \]
Раскроем скобки: \[ a^2 + (28^2 - 56a + a^2) = 400. \] \[ 2a^2 - 56a + 784 = 400. \]
Упростим уравнение: \[ 2a^2 - 56a + 384 = 0. \] Разделим на 2: \[ a^2 - 28a + 192 = 0. \]
Теперь, решим это квадратное уравнение с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 784 - 768 = 16. \]
Находим корни уравнения: \[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{28 \pm 4}{2} = \frac{32}{2} = 16 \quad \text{и} \quad \frac{24}{2} = 12. \]
Таким образом, катеты равны \(a = 16\) см и \(b = 12\) см.
В итоге, можно утверждать, что катеты \(a = 16\) см и \(b = 12\) см.
