Практическая работа № 2. Варнант 4. 1. Исследуйте функцию с помощью производной, найдите промежутки монотонности, экстремумы функции. y = -x + 2x2 + 3. 2. Найти наибольшее и…

Давайте разберемся с вашими задачами по математике!

Задача 1: Исследование функции y = -x + 2x² + 3

1. Найдем производную функции: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x + 2x^2 + 3) = -1 + 4x. \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ -1 + 4x = 0 \implies 4x = 1 \implies x = \frac{1}{4}. \]

3. Определим интервалы монотонности:

   • Для этого проверим знак производной на интервалах: \((-∞, \frac{1}{4})\) и \((\frac{1}{4}, +∞)\).
   • Если \( x < \frac{1}{4} \), то \( y' < 0\) (функция убывает).
   • Если \( x > \frac{1}{4} \), то \( y' > 0\) (функция возрастает).

Таким образом, функция убывает на интервале \((-∞, \frac{1}{4})\) и возрастает на интервале \((\frac{1}{4}, +∞)\).

4. Экстремумы функции: В точке \( x = \frac{1}{4} \) функция достигает минимума, так как она меняет свой характер с убывания на возрастание.

Задача 2: Наибольшее и наименьшее значение функции U = 2x - 15x^2 + 24x + 3 на промежутке [2; 3]

1. Приведем функцию к стандартному виду: \[ U = -15x^2 + 26x + 3. \]

2. Найдем производную функции: \[ U' = \frac{d}{dx}(-15x^2 + 26x + 3) = -30x + 26. \]

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[ -30x + 26 = 0 \implies 30x = 26 \implies x = \frac{26}{30} = \frac{13}{15}. \] Но эта точка находится вне заданного промежутка \([2; 3]\).

4. Найдем значения функции на концах интервала:

   • При \(x = 2\): \[ U(2) = -15(2^2) + 26(2) + 3 = -15(4) + 52 + 3 = -60 + 52 + 3 = -5. \]
   • При \(x = 3\): \[ U(3) = -15(3^2) + 26(3) + 3 = -15(9) + 78 + 3 = -135 + 78 + 3 = -54. \]

5. Сравним значения: При \(x = 2\) значение функции \(U = -5\), а при \(x = 3\) значение \(U = -54\).

Ответ:

• Наименьшее значение функции на промежутке [2; 3] равно \(-54\) (при \(x = 3\)).
• Наибольшее значение функции на промежутке [2; 3] равно \(-5\) (при \(x = 2\)).

Если есть другие вопросы или вам нужны дополнительные объяснения, пожалуйста, дайте знать!