Решить

Привет! Давай разберем задачи вместе.

Задача 5

У нас уравнение \( 9^x - 6 \cdot 3^x - 27 = 0 \).

1. Сначала заменим \( 3^x = t \), тогда уравнение примет вид: \[ 9^x = (3^x)^2 = t^2 \] Значит, уравнение станет \( t^2 - 6t - 27 = 0 \).

2. Решим квадратное уравнение \( t^2 - 6t - 27 = 0 \) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 \] Корни уравнения: \[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 12}{2} = 9 \text{ и } -3 \]

3. Так как \( t = 3^x \), невозможно, чтобы \( 3^x = -3 \), потому что 3^x всегда положительно. Остается \( 3^x = 9 \). Поскольку \( 9 = 3^2 \), то \( x = 2 \).

Итак, \( x = 2 \) – это единственный корень.

Задача 10

Нужно решить несколько уравнений:

1. \( 5^{x-2} = 25 \)

   Заметим, что \( 25 = 5^2 \), тогда имеем: \[ 5^{x-2} = 5^2 \Rightarrow x-2=2 \Rightarrow x=4 \]

2. \( 3^{x-4} = 1 \)

   Заметим, что \( 1 = 3^0 \), тогда имеем: \[ 3^{x-4} = 3^0 \Rightarrow x-4=0 \Rightarrow x=4 \]

3. \( 2^{x+2} = 5 \)

   Возьмем логарифм с основанием 2 от обеих сторон: \[ x+2=\log_2(5) \Rightarrow x=\log_2(5) - 2 \]

   Или в упрощенном виде: \[ x \approx 2.32 - 2 \rightarrow x \approx 0.32 \]

4. \( 5^{2^x} + 8 = 9 \)

   Вначале вычтем 8 из обеих сторон, чтобы упростить уравнение: \[ 5^{2^x} = 1 \Rightarrow 2^x = 0 \Rightarrow x = 0 \]

Надеюсь, это поможет! Если у тебя есть еще вопросы, всегда рад помочь.