Дано: ABCD — параллелограмм; PABCD = 10 см; PABD = 8 см. Найти: BD.

Чтобы найти длину диагонали \( BD \) в параллелограмме \( ABCD \), воспользуемся известными свойствами параллелограммов и формулой для вычисления диагоналей.

Пусть \( P \) — периметр параллелограмма, который равен \( 10 \) см. Параллелограмм имеет два пары равных сторон, пусть например \( AB \) и \( CD \) будут равны \( a \), а \( AD \) и \( BC \) будут равны \( b \). Тогда формула для периметра будет:

\[ P = 2(a + b) \]

Подставим значение:

\[ 10 = 2(a + b) \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ a + b = 5 \quad (1) \]

Теперь учитываем второй периметр \( P_{ABD} \), который равен \( 8 \) см. Периметр треугольника \( ABD \):

\[ P_{ABD} = AB + AD + BD \]

Запишем это с использованием обозначений:

\[ 8 = a + b + BD \]

Теперь, используя уравнение (1), подставим \( a + b = 5 \) в уравнение для периметра треугольника:

\[ 8 = 5 + BD \]

Решим это уравнение относительно \( BD \):

\[ BD = 8 - 5 = 3 \, \text{см} \]

Таким образом, длина диагонали \( BD \) равна \( 3 \, \text{см} \).