21n+17 доказать что дробь----------- не 14n+3 является целым числом

Чтобы доказать, что дробь \(\frac{21n + 17}{14n + 3}\) не является целым числом для любого целого значения \(n\), рассмотрим ее выражение и предположим, что она может быть целым числом. Для этого дробь должна давать в результате целое число, когда числитель делится на знаменатель.

1. Рассмотрим числитель и знаменатель:

   • Числитель: \(21n + 17\)
   • Знаменатель: \(14n + 3\)

2. Проведем деление: Давайте выразим дробь в форме \(k\), где \(k\) — целое число: \[ k = \frac{21n + 17}{14n + 3} \]

3. Умножим обе части уравнения на знаменатель: \[ k(14n + 3) = 21n + 17 \] Это можно переписать так: \[ 14kn + 3k = 21n + 17 \]

4. Соберем подобные члены: \[ (14k - 21)n + (3k - 17) = 0 \] Это уравнение должно выполняться для всех целых \(n\). Это возможно, только если коэффициенты перед \(n\) и свободный член равны нулю.

5. Решаем систему уравнений:

   • \(14k - 21 = 0\) (коэффициент при \(n\))
   • \(3k - 17 = 0\) (свободный член)

   Из первого уравнения получаем: \[ 14k = 21 \implies k = \frac{21}{14} = \frac{3}{2} \]

   Из второго уравнения получаем: \[ 3k = 17 \implies k = \frac{17}{3} \]

6. Сравнение полученных значений: Мы видим, что \(k\) не может быть одновременно равным \(\frac{3}{2}\) и \(\frac{17}{3}\). Это значит, что дробь \(\frac{21n + 17}{14n + 3}\) не может быть целым числом для любого целого значения \(n\).

Таким образом, мы доказали, что дробь не является целым числом.