Было посажено 400 деревьев. Найти вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, если вероятность того, что отдельное дерево приживётся, равна 0,8
Чтобы определить вероятность того, что число прижившихся деревьев будет больше 250, когда было посажено 400 деревьев и вероятность приживаемости одного дерева составляет 0.8, мы можем использовать нормальное распределение в качестве приближения к биномиальному.
Определим параметры биномиального распределения:
- Общее количество деревьев (n) = 400
- Вероятность приживаемости (p) = 0.8
Расчёт математического ожидания (E) и дисперсии (D):
- Математическое ожидание: \[ E = n \cdot p = 400 \cdot 0.8 = 320 \]
- Дисперсия: \[ D = n \cdot p \cdot (1 - p) = 400 \cdot 0.8 \cdot 0.2 = 64 \]
- Стандартное отклонение (σ): \[ \sigma = \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \]
С помощью нормального распределения можно найти z-значение для 250: \[ z = \frac{x - E}{\sigma} = \frac{250 - 320}{8} = \frac{-70}{8} = -8.75 \]
Теперь вычислим вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250. Мы ищем P(X > 250):
- Эта вероятность равна 1 минус вероятность того, что число прижившихся деревьев меньше или равно 250: \[ P(X > 250) = 1 - P(X \leq 250) \]
Из справочной таблицы нормального распределения мы видим, что z = -8.75 находится за пределами таблицы (это крайне низкое значение z), что означает, что вероятность того, что z < -8.75, практически равна 0.
- Таким образом, вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250: \[ P(X > 250) \approx 1 \]
Следовательно, вероятность того, что число прижившихся деревьев больше 250, имеет значение, близкое к 1. Это означает, что практически все деревья должны прижиться, что соответствует заданной вероятности приживаемости.
