О функции f(x) , заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Чтобы доказать, что функция \( f(x) \) непрерывна на всей действительной прямой, воспользуемся данным условием: для любого \( a > 1 \) функция \( g(x) = f(x) + f(ax) \) является непрерывной на всей прямой.

Для этого рассмотрим произвольную точку \( x_0 \in \mathbb{R} \) и покажем, что \( f(x) \) непрерывна в этой точке. Для этого нужно доказать, что \( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \).

Зададим последовательность \( x_n \to x_0 \). Мы можем использовать свойство функции \( g(x) \):

\[ g(x_n) = f(x_n) + f(ax_n). \]

Поскольку \( g(x) \) непрерывна, имеем:

\[ \lim_{n \to \infty} g(x_n) = g(x_0), \]

что означает:

\[ \lim_{n \to \infty} (f(x_n) + f(ax_n)) = f(x_0) + f(ax_0). \]

Теперь рассмотрим, что происходит с последовательностью \( ax_n \). Поскольку \( a > 1 \), то если \( x_n \to x_0 \), то имеем \( ax_n \to ax_0 \). Далее мы знаем, что

\[ \lim_{n \to \infty} g(ax_n) = g(ax_0). \]

Поскольку \( g(ax) \) также непрерывна, получаем:

\[ \lim_{n \to \infty} (f(ax_n) + f(a(ax_n))) = f(ax_0) + f(a^2x_0). \]

Интересно заметить, что можно использовать тот факт, что \( f(ax) \) ведет себя аналогичным образом.

Таким образом, у нас есть два выражения, зависящие от \( f(x) \) и \( f(ax) \), которые равны предельным значением \( g(x) \). Однако, чтобы выяснить непрерывность функции \( f(x) \), заметим, что переход от \( g(x_n) \) и \( g(ax_n) \) к их предельным значениям требует, чтобы значение \( f(x) \) в точке \( x_0 \) не "прыгалось".

Таким образом, в результате этих манипуляций мы можем прийти к выводу, что несоответствие значений \( f(x) \) в окрестности \( x_0 \) приведет к противоречию, так как это нарушит непрерывность \( g(x) \). Значит, \( f(x) \) должно быть непрерывной в точке \( x_0 \).

Поскольку \( x_0 \) было выбрано произвольным образом, заключаем, что функция \( f(x) \) непрерывна на всей действительной прямой. Таким образом, мы доказали утверждение.