О функции f(x) , заданной на всей действительной прямой, известно, что при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей…

Для доказательства того, что функция \( f(x) \) непрерывна на всей действительной прямой, воспользуемся свойством, что \( f(x) + f(ax) \) непрерывна для любого \( a > 1 \).

1. Доказательство непрерывности \( f(x) \):

Рассмотрим точку \( x_0 \) на действительной прямой и предельный переход \( x \to x_0 \). Чтобы показать, что \( f(x) \) непрерывна в этой точке, нужно доказать, что

\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0). \]

2. Используем условие:

Согласно условию, функция \( g(x) = f(x) + f(ax) \) является непрерывной для любого \( a > 1 \). Мы также можем записать это как:

\[ g(x_0) = f(x_0) + f(ax_0). \]

Когда \( x \to x_0 \):

\[ g(x) = f(x) + f(ax) \to f(x_0) + f(ax_0) = g(x_0). \]

3. Анализ поведения функции при увеличении аргумента:

Рассмотрим последовательности \( x_n \to x_0 \) и \( ax_n \to ax_0 \) (так как \( a > 1 \), при \( x_n \to x_0 \), \( ax_n \to ax_0 \)). Непрерывность \( g(x) \) означает:

\[ \lim_{n \to \infty} (f(x_n) + f(ax_n)) = f(x_0) + f(ax_0). \]

Запишем это как:

\[ \lim_{n \to \infty} f(x_n) + \lim_{n \to \infty} f(ax_n) = f(x_0) + f(ax_0). \]

4. Переход к \( ax_n \):

Поскольку \( ax_n \) также стремится к \( ax_0 \), мы можем записать:

\[ \lim_{n \to \infty} f(ax_n) = f(ax_0). \] Таким образом:

\[ \lim_{n \to \infty} f(x_n) + f(ax_0) = f(x_0) + f(ax_0). \]

5. Переписываем уравнение:

Теперь у нас есть:

\[ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x_0), \]

что и доказывает непрерывность функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \).

6. Обобщение:

Поскольку \( x_0 \) было выбрано произвольно, это утверждение верно для любой точки на действительной прямой. Таким образом, функция \( f(x) \) непрерывна на всей действительной прямой.

В итоге, мы доказали, что если \( f(x) + f(ax) \) является непрерывной для любого \( a > 1 \), то функция \( f(x) \) также должна быть непрерывной на всей прямой.