2x²-3x+1>0

Чтобы решить неравенство \(2x^2 - 3x + 1 > 0\), нам нужно сначала найти корни соответствующего уравнения \(2x^2 - 3x + 1 = 0\).

Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 2\), \(b = -3\) и \(c = 1\). Подставляем значения в формулу:

1. Сначала находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]

2. Теперь найдём корни: \[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 \] \[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = \frac{1}{2}\).

Теперь мы можем представить наш квадратный трихом в виде множителей: \[ 2(x - 1)(x - \frac{1}{2}) > 0 \]

Теперь определим интервалы, в которых это произведение будет больше нуля. Корни разбивают числовую прямую на три интервала:

1. \(x < \frac{1}{2}\)
2. \(\frac{1}{2} < x < 1\)
3. \(x > 1\)

Теперь проверим знак неравенства в каждом из интервалов:

1. Для \(x < \frac{1}{2}\), возьмём, например, \(x = 0\): \[ 2(0 - 1)(0 - \frac{1}{2}) = 2(-1)(-\frac{1}{2}) = 1 > 0 \] Значит, здесь неравенство выполняется.

2. Для \(\frac{1}{2} < x < 1\), возьмём, например, \(x = 0.75\): \[ 2(0.75 - 1)(0.75 - \frac{1}{2}) = 2(-0.25)(0.25) = -0.25 < 0 \] Здесь неравенство не выполняется.

3. Для \(x > 1\), возьмём, например, \(x = 2\): \[ 2(2 - 1)(2 - \frac{1}{2}) = 2(1)(1.5) = 3 > 0 \] Значит, в этом интервале неравенство также выполняется.

Таким образом, решением неравенства (2x^2 - 3x + 1 > 0\ являются два интервала:

\[ x < \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x > 1 \]

В конечном итоге, можно записать решение как:

\[ (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (1, +\infty) \]