6/х²-4х+3 - 13-7х/1-х = 3/х-3

Чтобы решить уравнение \( \frac{6}{x^2 - 4x + 3} - \frac{13 - 7x}{1 - x} = \frac{3}{x - 3} \), сначала упростим его шаг за шагом.

1. Упростим левую часть уравнения: \[ x^2 - 4x + 3 \text{ можно разложить на множители: } (x - 1)(x - 3). \] Теперь заменим: \[ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} - \frac{13 - 7x}{1 - x}. \] Заметьте, что \( 1 - x = -(x - 1) \), и тогда: \[ \frac{13 - 7x}{1 - x} = -\frac{13 - 7x}{x - 1}. \]

2. Перепишем все уравнение с новым знаменателем: Теперь у нас будет: \[ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{13 - 7x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}. \]

3. Приведем к общему знаменателю: Общий знаменатель для левой части: \[ (x - 1)(x - 3). \] Поэтому: \[ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{(13 - 7x)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{3(x - 1)}{(x - 3)(x - 1)}. \]

4. Объединим дроби на левой стороне: \[ \frac{6 + (13 - 7x)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{3(x - 1)}{(x - 3)(x - 1)}. \] Упрощаем числитель левой стороны: \[ 6 + (13x - 39 - 7x^2 + 21x) = -7x^2 + 34x - 33. \]

5. Установим равенство: Теперь у нас получается: \[ \frac{-7x^2 + 34x - 33}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{3(x - 1)}{(x - 3)(x - 1)}. \] Убираем общий знаменатель: \[ -7x^2 + 34x - 33 = 3(x - 1). \] Раскроем скобки: \[ -7x^2 + 34x - 33 = 3x - 3. \]

6. Соберём все в одну сторону: Переходим к стандартной форме уравнения: \[ -7x^2 + 34x - 3x - 33 + 3 = 0. \] Упрощаем: \[ -7x^2 + 31x - 30 = 0. \]

7. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 31^2 - 4 \cdot (-7) \cdot (-30) = 961 - 840 = 121. \] Поскольку дискриминант положителен, найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-31 \pm 11}{-14}. \] Корни: \[ x_1 = \frac{-31 + 11}{-14} = \frac{-20}{-14} = \frac{10}{7}, \] \[ x_2 = \frac{-31 - 11}{-14} = \frac{-42}{-14} = 3. \]

8. Итог: Корни уравнения: \( x = \frac{10}{7} \) и \( x = 3 \). Однако обратите внимание, что \( x = 3 \) исключается, так как он приводит к делению на нуль в исходном уравнении.

Таким образом, единственный допустимый корень: \[ x = \frac{10}{7}. \]