Векторы a и b - не нулевые . Известно |a-22b| = |a+22b|. Докажите что векторы a и b перпендикулярны друг другу
Давайте разберем данное условие, чтобы доказать, что векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) перпендикулярны.
Дано, что \( |\mathbf{a} - 22\mathbf{b}| = |\mathbf{a} + 22\mathbf{b}| \). Это уравнение можно интерпретировать как равенство длины двух векторов.
Для начала воспользуемся свойством длины вектора, которое гласит, что для любого вектора \( \mathbf{x} \) выполняется \( |\mathbf{x}|^2 = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \), где \( \cdot \) — скалярное произведение.
Запишем оба выражения:
- \( |\mathbf{a} - 22\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 - 2(\mathbf{a} \cdot 22\mathbf{b}) + |22\mathbf{b}|^2 \)
- \( |\mathbf{a} + 22\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot 22\mathbf{b}) + |22\mathbf{b}|^2 \)
Поскольку длины этих векторов равны, приравняем эти два выражения:
\[ |\mathbf{a}|^2 - 2(\mathbf{a} \cdot 22\mathbf{b}) + |22\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + 2(\mathbf{a} \cdot 22\mathbf{b}) + |22\mathbf{b}|^2 \]
Сократим одинаковые члены:
\[ -2(\mathbf{a} \cdot 22\mathbf{b}) = 2(\mathbf{a} \cdot 22\mathbf{b}) \]
Это можно перезаписать как:
\[ -2(\mathbf{a} \cdot 22\mathbf{b}) - 2(\mathbf{a} \cdot 22\mathbf{b}) = 0 \]
или
\[ -4(\mathbf{a} \cdot 22\mathbf{b}) = 0 \]
Так как \( \mathbf{b} \) не нулевой, у нас остается:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \]
Таким образом, мы доказали, что векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) перпендикулярны, поскольку скалярное произведение равно нулю.
