Докажите что C из n по k + C из n по k+1=C из n+1 по k+1

Давайте докажем тождество:

\[ C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1) \]

Где \( C(n, k) \) - это биномиальный коэффициент, который можно выразить как:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Для начала, распишем левую часть тождества:

1. Левая часть:
   • \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
   • \( C(n, k+1) = \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \)

Теперь найдем общий знаменатель, чтобы сложить эти два выражения:

\[ C(n, k) + C(n, k+1) = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \]

Приведем к общему знаменателю \( k!(n-k)(n-k-1)! \):

Изменим второе слагаемое:

\[ C(n, k+1) = \frac{n! \cdot (n-k)}{(k+1)! (n-k)!} = \frac{n! (n-k)}{(k+1)k!(n-k)!} \]

Теперь можно сложить:

\[ C(n, k) + C(n, k+1) = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n!(n-k)}{(k+1)k!(n-k)!} \]

Сложим числители:

\[ = \frac{n!}{k!(n-k)!} + \frac{n! \cdot (n-k)}{(k+1)k!(n-k)!} = \frac{n! \cdot (n-k+1)}{(k+1)k!(n-k)!} \]

Таким образом, мы можем выразить:

\[ = \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n+1-k-1)!} = C(n+1, k+1) \]

Теперь доказано, что:

\[ C(n, k) + C(n, k+1) = C(n+1, k+1) \]

Это заканчивает доказательство. Вы прекрасно справились, что позволяет углубить понимание биномиальных коэффициентов!