На отрезке АВ взята точка Р. Расстояние между серединами отрезков АР и РВ равно 20 см. Найдите длину отрезков АВ.

Рассмотрим отрезок \( AB \), на котором выбрана точка \( P \). Обозначим длины отрезков следующим образом:

• \( AP = x \) – длина отрезка \( AP \),
• \( PB = y \) – длина отрезка \( PB \).

Таким образом, длина отрезка \( AB \) равна \( x + y \).

Теперь найдем середины отрезков \( AP \) и \( PB \):

• Средина отрезка \( AP \) будет находиться на расстоянии \( \frac{x}{2} \) от точки \( A \),
• Средина отрезка \( PB \) будет находиться на расстоянии \( \frac{y}{2} \) от точки \( P \).

Расстояние между серединами этих отрезков равно \( 20 \) см:

\[ \left| \frac{x}{2} - (x + \frac{y}{2}) \right| = 20 \]

Запишем это уравнение:

\[ \left| \frac{x}{2} - \left( \frac{2x + y}{2} \right) \right| = 20 \]

Упрощаем уравнение:

\[ \left| \frac{x - 2x - y}{2} \right| = 20 \]

\[ \left| \frac{-x - y}{2} \right| = 20 \]

Умножим обе стороны на \( 2 \):

\[ |-x - y| = 40 \]

Это приводит к двум случаям:

1. \( -x - y = 40 \)
2. \( -x - y = -40 \) или \( x + y = 40 \)

Теперь подставим \( y = 40 - x \) в длину отрезка \( AB \):

\( AB = x + y = x + (40 - x) = 40 \).

Во втором случае нам необходимо решить следующее уравнение:

1. \( -x - y = 40 \) даёт нам \( x + y = -40 \), что невозможно, так как длины отрезков не могут быть отрицательными.

Таким образом, длина отрезка \( AB \) равна \( 40 \) см.