Прогулочный теплоход идёт по реке из населённого пункта А в населённый пункт В и обратно 5 часов. Найдите скорость течения реки, если известно, что расстояние между населёнными пунктами составляет 60 км, собственная скорость теплохода равна 25 км/ч.
Для решения этой задачи давайте рассмотрим, как влияют скорость теплохода и скорость течения реки на общее время в пути.
Мы знаем следующие данные:
- Расстояние между населёнными пунктами A и B: 60 км.
- Собственная скорость теплохода: 25 км/ч.
- Общее время в пути (туда и обратно): 5 часов.
Обозначим скорость течения реки за \( v \) км/ч. Когда теплоход движется вниз по течению, его эффективная скорость будет \( 25 + v \) км/ч. При движении против течения эффективная скорость составит \( 25 - v \) км/ч.
Теперь давайте найдем время в пути, когда теплоход идёт к пункту B и обратно в пункт A:
Время движения вниз по течению (к пункту B): \[ t_1 = \frac{60}{25 + v} \]
Время движения вверх по течению (обратно к пункту A): \[ t_2 = \frac{60}{25 - v} \]
Общее время в пути: \[ t_1 + t_2 = 5 \] Подставим найденные времена: \[ \frac{60}{25 + v} + \frac{60}{25 - v} = 5 \]
Теперь умножим обе части уравнения на \( (25 + v)(25 - v) \) для избавления от знаменателей: \[ 60(25 - v) + 60(25 + v) = 5(25 + v)(25 - v) \]
Упростим левую часть: \[ 60 \times 25 - 60v + 60 \times 25 + 60v = 3000 \] \[ 1200 = 5(625 - v^2) \]
Перепишем уравнение: \[ 1200 = 3125 - 5v^2 \]
Переносим все значения в левую часть: \[ 5v^2 = 3125 - 1200 \] \[ 5v^2 = 1925 \] \[ v^2 = \frac{1925}{5} = 385 \] \[ v = \sqrt{385} \approx 19.62 \text{ км/ч} \]
Таким образом, скорость течения реки примерно равна 19.62 км/ч.
