(x-2)⁴-(x-2)²=72

Чтобы решить уравнение \((x-2)⁴ - (x-2)² = 72\), начнем с введения нового переменного.

Пусть \(y = (x-2)²\). Тогда уравнение преобразуется в следующее:

\[ y² - y - 72 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение методом факторизации или используя формулу корней квадратного уравнения.

Попробуем факторизовать:

Мы ищем два числа, произведение которых равно \(-72\) и сумма равна \(-1\). Эти числа — \(-9\) и \(8\). Поэтому мы можем записать уравнение в следующем виде:

\[ (y - 9)(y + 8) = 0 \]

Теперь мы можем найти корни:

1. \(y - 9 = 0 \Rightarrow y = 9\)
2. \(y + 8 = 0 \Rightarrow y = -8\)

Так как \(y = (x-2)²\), рассматриваем только положительное значение \(y\) (поскольку квадрат любого числа не может быть отрицательным):

1. \( (x-2)² = 9 \)

   • Извлекаем квадратный корень: \(x - 2 = 3\) или \(x - 2 = -3\).
   • Это дает: \(x = 5\) или \(x = -1\).

2. Отрицательное значение \(y\) (\(y = -8\)) не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

\[ x = 5 \quad \text{и} \quad x = -1 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или потребность в разъяснениях, не стесняйтесь спрашивать!