При каких значениях параметра a график квадратного трехчлена y=ax²+(a+3)x +a лежит ниже оси абсцисс.

Чтобы определить, при каких значениях параметра \(a\) график квадратного трехчлена \(y = ax^2 + (a + 3)x + a\) лежит ниже оси абсцисс, нужно рассмотреть условия для дискриминанта этого уравнения.

Квадратный трехчлен будет ниже оси абсцисс, если у него нет действительных корней или если он открыто вниз (что происходит при \(a < 0\)) и имеет два действительных корня. Для начала найдем дискриминант \(D\) этого уравнения:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Где:

• \(a = a\)
• \(b = a + 3\)
• \(c = a\)

Подставляем значения:

\[ D = (a + 3)^2 - 4a^2 \]

Раскроем скобки:

\[ D = a^2 + 6a + 9 - 4a^2 = -3a^2 + 6a + 9 \]

Теперь нам нужно, чтобы \(D < 0\) (т.е. уравнение не имеет действительных корней). Это даст нам условие для параметра \(a\):

\[ -3a^2 + 6a + 9 < 0 \]

Умножим неравенство на \(-1\) (не забывая поменять знак неравенства):

\[ 3a^2 - 6a - 9 > 0 \]

Теперь можем разделить на 3:

\[ a^2 - 2a - 3 > 0 \]

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного уравнения:

\[ a^2 - 2a - 3 = 0 \]

Используя дискриминант:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Корни будут:

\[ a_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \quad a_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \]

Теперь исследуем знаки неравенства \(a^2 - 2a - 3 > 0\). Мы проверяем интервалы:

1. \(a < -1\)
2. \(-1 < a < 3\)
3. \(a > 3\)

В интервале \(a < -1\) и \(a > 3\) значение \(a^2 - 2a - 3 > 0\).

Таким образом, график квадратного трехчлена \(y=ax^2+(a+3)x +a\) лежит ниже оси абсцисс при \(a < -1\) или \(a > 3\).