При каких значениях параметра а график квадратного трёхчлена у=аx²+(а + 3)х + а лежит ниже оси абсцисс.
Чтобы определить, при каких значениях параметра \( a \) график квадратного трёхчлена \( y = ax^2 + (a + 3)x + a \) лежит ниже оси абсцисс, необходимо рассмотреть условия, при которых дискриминант этого уравнения меньше нуля. Это связано с тем, что если дискриминант отрицателен, то график не пересекает ось абсцисс, а значит, либо полностью выше, либо полностью ниже оси.
Формула для дискриминанта квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c \) выглядит следующим образом:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае:
- \( b = a + 3 \)
- \( c = a \)
Таким образом, дискриминант будет равен:
\[ D = (a + 3)^2 - 4 \cdot a \cdot a = (a + 3)^2 - 4a^2 \]
Теперь упростим это выражение:
\[ D = a^2 + 6a + 9 - 4a^2 = -3a^2 + 6a + 9 \]
График квадратного трёхчлена будет лежать ниже оси абсцисс, если дискриминант меньше нуля:
\[ -3a^2 + 6a + 9 < 0 \]
Теперь можно решить неравенство. Для начала найдем корни уравнения \( -3a^2 + 6a + 9 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D' = 6^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 9 = 36 + 108 = 144 \]
Корни уравнения по формуле квадратного уравнения:
\[ a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D'}}{2a} = \frac{-6 \pm 12}{-6} \]
Находим два корня:
- \( a_1 = \frac{6}{-6} = -1 \)
- \( a_2 = \frac{-18}{-6} = 3 \)
Теперь необходимо исследовать знак выражения \( -3a^2 + 6a + 9 \) в интервалах, образованных этими корнями: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 3) \) и \( (3, +\infty) \).
- Для \( a < -1 \) (например, \( a = -2 \)): \( -3(-2)^2 + 6(-2) + 9 = -12 - 12 + 9 = -15 < 0 \)
- Для \( -1 < a < 3 \) (например, \( a = 0 \)): \( -3(0)^2 + 6(0) + 9 = 9 > 0 \)
- Для \( a > 3 \) (например, \( a = 4 \)): \( -3(4)^2 + 6(4) + 9 = -48 + 24 + 9 = -15 < 0 \)
Итак, график трёхчлена \( y = ax^2 + (a + 3)x + a \) будет полностью ниже оси абсцисс при \( a < -1 \) и \( a > 3 \).
Таким образом, ответ: график лежит ниже оси абсцисс при \( a \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \).
