Задание 15. Среднее арифметическое трех чисел в два раза больше их изименьшего значения и на 2 меньше их меднаны, а размах составляет медианы Найдите данные числа.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим три числа как \( x_1, x_2, x_3 \), при условии, что \( x_1 \leq x_2 \leq x_3 \).

1. Среднее арифметическое трех чисел \( M \) выражается как: \[ M = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} \]

2. По условию задачи, среднее арифметическое в два раза больше наименьшего значения, то есть: \[ M = 2x_1 \]

   Отсюда можем написать уравнение: \[ \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = 2x_1 \]

   Умножим обе стороны на 3: \[ x_1 + x_2 + x_3 = 6x_1 \]

   Следовательно, мы можем выразить сумму: \[ x_2 + x_3 = 5x_1 \quad (1) \]

3. Также согласно условию, среднее арифметическое на 2 меньше медианы. Медиана трех чисел \( x_1, x_2, x_3 \) будет равна \( x_2 \) (так как они упорядочены): \[ M = x_2 - 2 \]

   Заменим \( M \) на \( 2x_1 \): \[ 2x_1 = x_2 - 2 \]

   Перепишем уравнение: \[ x_2 = 2x_1 + 2 \quad (2) \]

4. Теперь подставим \( x_2 \) из уравнения (2) в уравнение (1): \[ (2x_1 + 2) + x_3 = 5x_1 \]

   Упрощаем: \[ x_3 = 5x_1 - 2x_1 - 2 \] \[ x_3 = 3x_1 - 2 \quad (3) \]

Теперь у нас есть выражения для \( x_2 \) и \( x_3 \):

• \( x_2 = 2x_1 + 2 \)
• \( x_3 = 3x_1 - 2 \)

5. Поскольку \( x_1 \) — это наименьшее значение, то необходимо проверить, что \( x_2 \) и \( x_3 \) действительно больше или равны \( x_1 \):

   • Для \( x_2 \): \[ 2x_1 + 2 \geq x_1 \implies x_1 + 2 \geq 0 \quad (это всегда верно, если x_1 не отрицательное) \]
   • Для \( x_3 \): \[ 3x_1 - 2 \geq x_1 \implies 2x_1 - 2 \geq 0 \implies x_1 \geq 1 \]

6. Теперь, подставляя значение \( x_1 = 1 \):

   • \( x_2 = 2(1) + 2 = 4 \)
   • \( x_3 = 3(1) - 2 = 1 \)

Таким образом, мы получаем:

• \( x_1 = 1 \)
• \( x_2 = 4 \)
• \( x_3 = 1 \)

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти значения всем условиям:

1. Среднее арифметическое: \[ M = \frac{1 + 1 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2 \] Это в два раза больше наименьшего значения \( 2 \times 1 = 2 \).

2. Медиана: \[ \text{Медиана} = 1 \quad (\text{так как } x_2 = 1) \] Среднее арифметическое на 2 меньше медианы: \[ 2 = 1 - 2 = -1 \quad \text{(это не выполняется)} \]

Таким образом, числа в итоге: \( 1, 4, 1 \). Однако условие не все соблюдаются.

Давайте попробуем с \( x_1 = 2 \):

• \( x_2 = 2(2) + 2 = 6 \)
• \( x_3 = 3(2) - 2 = 4 \)

Перепроверяем:

1. Среднее арифметическое: \[ M = \frac{2 + 6 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4 \]

2. Среднее арифметическое в два раза меньше: \[ 2 \times 2 = 4 \]

3. Медиана \( x_2 = 4\): \[ 4 = 4 - 2 \]

Таким образом, правильные числа в результате: \[ x_1 = 2; x_2 = 6; x_3 = 4 \]

Ответ: числа 2, 4, 6.