верно ли что (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
Да, утверждение верно. Это свойство называется дистрибутивностью пересечения относительно объединения.
Сначала разберем каждую часть:
Левая часть: \((A ∪ B) ∩ C\) обозначает, что мы берем все элементы, которые находятся в объединении множеств \(A\) и \(B\), и затем находим общие элементы с множеством \(C\).
Правая часть: \((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)\) показывает, что мы сначала берем элементы, которые находятся как в множестве \(A\), так и в \(C\), а затем элементы, которые находятся как в множестве \(B\), так и в \(C\). После этого мы объединяем эти два результата.
Чтобы показать, что эти два выражения равны, можем использовать метод проверки:
Пусть \(x\) – произвольный элемент.
Если \(x\) принадлежит левой части \((A ∪ B) ∩ C\), это означает, что \(x\) принадлежит \(C\) и также принадлежит хотя бы одному из множеств \(A\) или \(B\). Таким образом, \(x\) попадает либо в \(A ∩ C\), либо в \(B ∩ C\), следовательно, \(x\) принадлежит правой части \((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)\).
Обратно, если \(x\) принадлежит правой части \((A ∩ C) ∪ (B ∩ C)\), это значит, что \(x\) принадлежит \(C\) и либо \(A\), либо \(B\), что значит, что \(x\) также будет принадлежать \((A ∪ B) ∩ C\).
Из этого следует, что оба выражения равны:
\[ (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим аспектам теории множеств, не стесняйтесь спрашивать!
