Шарик толкнули снизу вверх по наклонному жёлобу. У флажка, установленного на расстоянии 30 см от нижнего края жёлоба, шарик побывал через 1 с и через 3 с после толчка. Чему равен пройденный шариком путь к моменту, когда он вернулся в начальную точку? Шарик движется вверх и вниз по жёлобу с одинаковым по модулю ускорением.

Для решения задачи начнем с анализа движения шарика. Шарик движется вверх по наклонному жёлобу с некоторым начальным ускорением, а затем возвращается вниз с тем же ускорением. Учитывая, что ускорение одинаково по модулю, мы можем использовать законы кинематики.

Пусть:

• \( a \) - модуль ускорения шарика (которое направлено вниз),
• \( h \) - высота флажка от нижней точки жёлоба, равная 30 см,
• \( t_1 = 1 \) с - время, когда шарик достигает флажка,
• \( t_2 = 3 \) с - время, когда шарик возвращается обратно в начальную точку.

Формула для пути при равномерно ускоренном движении:
\[ s = V_0 t + \frac{1}{2} a t^2, \]
где \( V_0 \) - начальная скорость.

Так как шарик был толкнут, можно обозначить начальную скорость как \( V_0 \).

1. Путь вверх до флажка (в момент \( t_1 = 1 \) с): \[ s_1 = V_0 t_1 - \frac{1}{2} a t_1^2. \] Подставляем \( t_1 = 1 \): \[ s_1 = V_0 \cdot 1 - \frac{1}{2} a \cdot 1^2 = V_0 - \frac{1}{2} a. \] Этот путь равен \( h = 30 \) см.

2. Путь вниз за всё время до возвращения: При возвращении шарик проходит тот же путь вниз: \[ h = V_0 t_2 - \frac{1}{2} a t_2^2. \] Подставляем \( t_2 = 3 \): \[ h = V_0 \cdot 3 - \frac{1}{2} a \cdot 3^2 = 3V_0 - \frac{9}{2}a. \]

Теперь мы знаем, что: \[ 30 = V_0 - \frac{1}{2} a \quad \text{(1)} \] и \[ 30 = 3V_0 - \frac{9}{2}a \quad \text{(2)}. \]

Сначала решим уравнение (1) относительно \( a \): \[ a = 2(V_0 - 30). \]

Теперь подставим это значение в уравнение (2): \[ 30 = 3V_0 - \frac{9}{2} \cdot 2(V_0 - 30), \] что упрощается до: \[ 30 = 3V_0 - 9(V_0 - 30). \] Раскроем скобки: \[ 30 = 3V_0 - 9V_0 + 270, \] \[ 30 = -6V_0 + 270. \] Переместим \( 270 \) в левую часть: \[ 6V_0 = 270 - 30, \] \[ 6V_0 = 240, \] \[ V_0 = 40 \text{ см/с}. \]

Теперь подставим значение \( V_0 \) обратно в (1) для нахождения \( a \): \[ a = 2(40 - 30) = 20 \text{ см/с}^2. \]

Теперь, чтобы найти полный путь, который прошел шарик, когда он вернулся в начальную точку, следует учитывать путь вверх и вниз:

• Путь вверх до флажка: 30 см.
• Путь вниз обратно в начальную точку: также 30 см.

Итак, общая пройденная длина: \[ s_{total} = 30 + 30 = 60 \text{ см}. \]

Таким образом, шарик прошел в общей сложности 60 см к моменту, когда он вернулся в начальную точку.