Найдите наибольший общий делитель а 12 и 24 Б 6 и 9 в 75 и 45 г 81 и 243 д 4725 и 7875

Для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел, можно использовать метод разложения на множители или алгоритм Евклида. Давайте решим каждую из пар чисел по порядку.

А) 12 и 24:

1. Разложим на множители:

   • 12 = 2 × 2 × 3 = \(2^2 \times 3^1\)
   • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = \(2^3 \times 3^1\)

2. НОД будет произведением оснований с минимальными степенями:

   • НОД(12, 24) = \(2^{min(2, 3)} \times 3^{min(1, 1)} = 2^2 \times 3^1 = 4 \times 3 = 12\).

Б) 6 и 9:

1. Разложим на множители:

   • 6 = 2 × 3 = \(2^1 \times 3^1\)
   • 9 = 3 × 3 = \(3^2\)

2. НОД(6, 9) = \(2^{min(1, 0)} \times 3^{min(1, 2)} = 2^0 \times 3^1 = 1 \times 3 = 3\).

В) 75 и 45:

1. Разложим на множители:

   • 75 = 3 × 5 × 5 = \(3^1 \times 5^2\)
   • 45 = 3 × 3 × 5 = \(3^2 \times 5^1\)

2. НОД(75, 45) = \(3^{min(1, 2)} \times 5^{min(2, 1)} = 3^1 \times 5^1 = 3 \times 5 = 15\).

Г) 81 и 243:

1. Разложим на множители:

   • 81 = 3 × 3 × 3 × 3 = \(3^4\)
   • 243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = \(3^5\)

2. НОД(81, 243) = \(3^{min(4, 5)} = 3^4 = 81\).

Д) 4725 и 7875:

1. Разложим на множители. Начнем с 4725:
   • 4725 делится на 25 (так как заканчивается на 25), 4725 ÷ 25 = 189
   • 189 = 3 × 63 = 3 × 3 × 21 = 3² × 3 × 7 = 3³ × 7
   • Соответственно, 4725 = \(25 \times (3^3 \times 7) = 5^2 \times 3^3 \times 7\).

Теперь разложим 7875:

• 7875 также делится на 25, 7875 ÷ 25 = 315
• 315 = 3 × 105 = 3 × 3 × 35 = 3² × 5 × 7
• Таким образом, 7875 = \(25 \times (3^2 \times 5 \times 7) = 5^2 \times 3^2 \times 7\).

2. НОД(4725, 7875) = \(5^{min(2, 2)} \times 3^{min(3, 2)} \times 7^{min(1, 1)} = 5^2 \times 3^2 \times 7^1 = 25 \times 9 \times 7 = 1575\).

Таким образом, ответы на все пункты: А) 12 Б) 3 В) 15 Г) 81 Д) 1575