1. При каких значениях х выражения равны: х22х + 25 и 2x ^ 2 - 20x + 1 2. Решите уравнения: (2y + 7)(7 - 2y) + 6y ^ 2 = 49 + 7y 3. Один из корней уравнениях x ^ 2 + px - 35 = 0 равен 5. Найдите другой корень и р. 4. Один из корней уравнения x ^ 2 - 13x + q = 0 равен 12. Найдите другой корень и д.
- Чтобы найти значения \( x \), при которых выражения \( x^2 + 25 \) и \( 2x^2 - 20x + 1 \) равны, приравняем их:
\[ x^2 + 25 = 2x^2 - 20x + 1 \]
Переносим все элементы в одну сторону:
\[ 0 = 2x^2 - 20x + 1 - x^2 - 25 \] \[ 0 = x^2 - 20x - 24 \]
Теперь решим это квадратное уравнение используя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 400 + 96 = 496 \]
Корни уравнения находят по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm \sqrt{496}}{2} \]
Далее упрощаем:
\[ \sqrt{496} = 4\sqrt{31} \]
Теперь подставляем в формулу корней:
\[ x = \frac{20 \pm 4\sqrt{31}}{2} = 10 \pm 2\sqrt{31} \]
Таким образом, значения \( x \), при которых выражения равны:
\[ x = 10 + 2\sqrt{31} \quad \text{и} \quad x = 10 - 2\sqrt{31} \]
- Решим уравнение:
\[ (2y + 7)(7 - 2y) + 6y^2 = 49 + 7y \]
Сначала раскроем скобки:
\[ 14y - 4y^2 + 49 - 14y + 6y^2 = 49 + 7y \]
Упрощаем:
\[ 2y^2 + 49 = 49 + 7y \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 2y^2 - 7y = 0 \]
Выносим \( y \) за скобки:
\[ y(2y - 7) = 0 \]
Отсюда получаем два корня:
\[ y = 0 \quad \text{или} \quad 2y - 7 = 0 \Rightarrow y = \frac{7}{2} = 3.5 \]
- Дано уравнение \( x^2 + px - 35 = 0 \), один корень равен 5. По свойству корней:
Сумма корней \( x_1 + x_2 = -p \)
Так как \( x_1 = 5 \):
\[ 5 + x_2 = -p \Rightarrow x_2 = -p - 5 \]
Произведение корней:
\[ x_1 \cdot x_2 = -35 \Rightarrow 5(-p - 5) = -35 \]
Решим уравнение:
\[ -p - 5 = -7 \Rightarrow p = 2 \]
Теперь найдем другой корень:
\[ x_2 = -2 - 5 = -7 \]
Окончательные результаты:
\[ x_2 = -7, \quad p = 2 \]
- Дано уравнение \( x^2 - 13x + q = 0 \), один корень равен 12. По свойству корней:
Сумма корней \( x_1 + x_2 = 13 \):
\[ 12 + x_2 = 13 \Rightarrow x_2 = 1 \]
Произведение корней:
\[ x_1 \cdot x_2 = q \Rightarrow 12 \cdot 1 = q \Rightarrow q = 12 \]
Окончательные результаты:
\[ x_2 = 1, \quad q = 12 \]
