докажите, что при всех допустимых значениях t выражение тождественно равно нулю: 6(t+1,5)/t^3-27 + 1/3-t + t/t^2+3t+9
Для доказательства того, что выражение
\[ \frac{6(t+1.5)}{t^3 - 27} + \frac{1}{3 - t} + \frac{t}{t^2 + 3t + 9} \]
тождественно равно нулю для всех допустимых значений \( t \), начнем с упрощения каждого из слагаемых.
Упрощение первого слагаемого:
Заметим, что \( t^3 - 27 \) можно представить как разность кубов:
\[ t^3 - 27 = (t - 3)(t^2 + 3t + 9) \]
Теперь подставляем это в первое слагаемое:
\[ \frac{6(t + 1.5)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} \]
Упрощение второго слагаемого:
Второе слагаемое остается без изменений:
\[ \frac{1}{3 - t} \]
Мы можем переписать его как:
\[ \frac{-1}{t - 3} \]
Упрощение третьего слагаемого:
Третье слагаемое:
\[ \frac{t}{t^2 + 3t + 9} \]
остается в том же виде, поскольку мы проверяем, приводится ли к общему знаменателю, который в данном случае будет \( (t - 3)(t^2 + 3t + 9) \).
Теперь давайте соберем все слагаемые под общий знаменатель:
\[ S = \frac{6(t + 1.5) - (t^2 + 3t + 9) + t(t - 3)}{(t - 3)(t^2 + 3t + 9)} \]
В числителе у нас становится:
\[ 6(t + 1.5) - (t^2 + 3t + 9) + t^2 - 3t \]
Упрощаем числитель:
\[ = 6t + 1.5 \cdot 6 - t^2 - 3t - 9 + t^2 - 3t \]
Соберем подобные члены:
\[ = (6t - 3t - 3t) + (9 - 9) + 9 - 9 \] \[ = 0 \]
Как мы видим, числитель равен нулю. Таким образом, выражение
\[ \frac{6(t + 1.5)}{t^3 - 27} + \frac{1}{3 - t} + \frac{t}{t^2 + 3t + 9} = 0 \]
тождественно равно нулю при всех допустимых значениях \( t \), исключая значения, которые отвергают известные делители, такие как \( t = 3 \).
Таким образом, мы доказали необходимое равенство!
