1. (1 балл) в прямоугольном треугольнике один из катетов на 2 см меньше гипотенузы, а другой - на 25 см меньше гипотенузы. найдите гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике обозначим гипотенузу как \( c \), один катет как \( a \), а другой катет как \( b \). Согласно условию задачи:
- \( a = c - 2 \) (один катет на 2 см меньше гипотенузы)
- \( b = c - 25 \) (другой катет на 25 см меньше гипотенузы)
Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника справедливо равенство:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Теперь подставим выражения для катетов \( a \) и \( b \):
\[ (c - 2)^2 + (c - 25)^2 = c^2 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ (c - 2)^2 = c^2 - 4c + 4 \] \[ (c - 25)^2 = c^2 - 50c + 625 \]
Подставим это в уравнение:
\[ (c^2 - 4c + 4) + (c^2 - 50c + 625) = c^2 \]
Сложим все элементы:
\[ 2c^2 - 54c + 629 = c^2 \]
Переносим все в одну сторону:
\[ 2c^2 - c^2 - 54c + 629 = 0 \] \[ c^2 - 54c + 629 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 629 \] \[ D = 2916 - 2516 = 400 \]
Теперь найдем корни уравнения:
\[ c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{54 \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 1} = \frac{54 \pm 20}{2} \]
Рассмотрим два случая:
- \( c = \frac{54 + 20}{2} = 37 \)
- \( c = \frac{54 - 20}{2} = 17 \)
Проверим оба значения на соответствие условиям.
Для \( c = 37 \):
- \( a = 37 - 2 = 35 \)
- \( b = 37 - 25 = 12 \)
Проверим теорему Пифагора: \[ 35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369 = 37^2 \]
Для \( c = 17 \):
- \( a = 17 - 2 = 15 \)
- \( b = 17 - 25 \) (это значение отрицательное, что невозможно).
Таким образом, корректное значение для гипотенузы:
\[ \text{Гипотенуза } c = 37 \text{ см.} \]
