1. (1 балл) в прямоугольном треугольнике один из катетов на 2 см меньше гипотенузы, а другой - на 25 см меньше гипотенузы. найдите гипотенузу. Через теорему Виета
Давайте решим задачу, используя известные свойства прямоугольных треугольников и теорему Виета.
Обозначим гипотенузу как \( c \). Тогда по условию задачи, один из катетов будет равен \( c - 2 \), а другой катет — \( c - 25 \).
Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольника справедливо, что:
\[ (c - 2)^2 + (c - 25)^2 = c^2 \]
Теперь раскрываем скобки:
\[ (c - 2)^2 = c^2 - 4c + 4 \] \[ (c - 25)^2 = c^2 - 50c + 625 \]
Подставляем эти выражения в уравнение:
\[ (c^2 - 4c + 4) + (c^2 - 50c + 625) = c^2 \]
Складываем левую часть:
\[ 2c^2 - 54c + 629 = c^2 \]
Переносим \( c^2 \) в левую часть уравнения:
\[ 2c^2 - c^2 - 54c + 629 = 0 \] \[ c^2 - 54c + 629 = 0 \]
Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы найти корни этого квадратного уравнения. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -54 \), \( c = 629 \).
Подставим значения:
\[ D = (-54)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 629 = 2916 - 2516 = 400 \]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения. Находим корни с помощью формулы:
\[ c = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ c = \frac{54 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{54 \pm 20}{2} \]
Решения:
\( c = \frac{74}{2} = 37 \)
\( c = \frac{34}{2} = 17 \)
Теперь необходимо проверить, какое значение гипотенузы имеет смысл.
Если \( c = 37 \):
- Первый катет: \( 37 - 2 = 35 \)
- Второй катет: \( 37 - 25 = 12 \)
Проверим:
\[ 35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369 \] \[ 37^2 = 1369 \]
Это верно.
Если \( c = 17 \):
- Первый катет: \( 17 - 2 = 15 \)
- Второй катет: \( 17 - 25 = -8 \) (не имеет смысла).
Таким образом, гипотенуза треугольника равна \( 37 \) см.
