3. (1 балл) труба первого типа наполняет резервуар на 2 часа быстрее, чем труба второго типа. одна труба первого типа и две трубы второго, работая одновременно, наполняют резервуар за 1 час. за сколько часов наполнит резервуар одна труба первого типа?
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Обозначим время, за которое труба второго типа наполняет резервуар, как \( x \) часов. Тогда труба первого типа, наполняя резервуар на 2 часа быстрее, будет заполнять его за \( x - 2 \) часа.
Теперь определим производительность каждой трубы:
- Производительность трубы первого типа: \( \frac{1}{x - 2} \) (резервуар в час).
- Производительность трубы второго типа: \( \frac{1}{x} \) (резервуар в час).
Согласно условию, одна труба первого типа и две трубы второго работают вместе и наполняют резервуар за 1 час. Значит, их общая производительность равна 1 резервуару в час:
\[ \frac{1}{x - 2} + 2 \cdot \frac{1}{x} = 1 \]
Теперь рассмотрим это уравнение:
- Приведем его к общему знаменателю \( x(x - 2) \):
\[ \frac{x}{x(x - 2)} + \frac{2(x - 2)}{x(x - 2)} = 1 \]
- Упрощаем:
\[ \frac{x + 2x - 4}{x(x - 2)} = 1 \]
Это дает:
\[ \frac{3x - 4}{x(x - 2)} = 1 \]
- Умножим обе стороны на \( x(x - 2) \):
\[ 3x - 4 = x^2 - 2x \]
- Приведем все к нулю:
\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]
- Решим квадратное уравнение:
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \]
Получаем два возможных значения:
\[ x_1 = \frac{8}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Так как \( x \) — это время, за которое резервуар наполняет труба второго типа, \( x \) не может быть равно 1, потому что в этом случае труба первого типа должна была бы заполнять резервуар за -1 час, что невозможно.
Таким образом, \( x = 4 \) часа — это время, за которое труба второго типа наполняет резервуар, и следовательно, труба первого типа наполняет его за:
\[ x - 2 = 4 - 2 = 2 \text{ часа}. \]
Таким образом, одна труба первого типа наполнит резервуар за 2 часа.
