Найдите промежутки возрастания убывания и точки экстремума функции: f(x) = x^2-25/x+2
Чтобы найти промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции \( f(x) = \frac{x^2 - 25}{x + 2} \), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти производную функции.
Для этого используем правило производной частного. Если \( u(x) = x^2 - 25 \) и \( v(x) = x + 2 \), то производная функции \( f(x) = \frac{u}{v} \) вычисляется по формуле:
\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Сначала найдем \( u' \) и \( v' \):
\[ u' = 2x, \quad v' = 1 \]
Теперь подставим в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(2x)(x + 2) - (x^2 - 25)(1)}{(x + 2)^2} \]
Упростим числитель:
\[ f'(x) = \frac{2x^2 + 4x - x^2 + 25}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x + 25}{(x + 2)^2} \]
Определить, где производная равна нулю или не существует.
Для нахождения критических точек установим \( f'(x) = 0 \):
\[ x^2 + 4x + 25 = 0 \]
Это квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как дискриминант \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 16 - 100 = -84 \) отрицателен.
Также производная \( f'(x) \) не существует в точке \( x = -2 \), так как в этом случае выражение для производной приводит к делению на ноль.
Исследовать знак производной на промежутках.
Мы рассмотрим два промежутка: \( (-\infty, -2) \) и \( (-2, \infty) \).
Для \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \[ f'(-3) = \frac{(-3)^2 + 4(-3) + 25}{((-3) + 2)^2} = \frac{9 - 12 + 25}{1} = 22 > 0 \quad (\text{возрастает}) \]
Для \( x > -2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ f'(0) = \frac{0^2 + 4 \cdot 0 + 25}{(0 + 2)^2} = \frac{25}{4} > 0 \quad (\text{возрастает}) \]
Вывод.
На основании вышеизложенного, мы можем сделать следующие заключения:
- Функция \( f(x) \) имеет точку разрыва в \( x = -2 \).
- Она возрастает на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (-2, \infty) \).
- У функции нет точек экстремума, так как производная не изменяет знак.
Таким образом, функция \( f(x) \) не имеет промежутков убывания и экстремумов.
