(икс-3)(Икс+1) (Икс+4) меньше0

Для решения неравенства \((x - 3)(x + 1)(x + 4) < 0\) давайте сначала определим, при каких значениях \(x\) выражение становится равным нулю.

1. Найдем корни неравенства: \[ x - 3 = 0 \implies x = 3, \\ x + 1 = 0 \implies x = -1, \\ x + 4 = 0 \implies x = -4. \]

Таким образом, корни неравенства: \(x = -4\), \(x = -1\), и \(x = 3\).

2. Теперь определим интервалы, которые необходимо проверить. Мы имеем следующие интервалы:

   • \( (-\infty, -4) \)
   • \( (-4, -1) \)
   • \( (-1, 3) \)
   • \( (3, +\infty) \)

3. Проверим знак произведения в каждом из этих интервалов:

• Для интервала \( (-\infty, -4) \), например, возьмем \( x = -5 \): \(((-5 - 3)((-5 + 1)((-5 + 4))) = (-8)(-4)(-1) = -128 < 0\)

• Для интервала \( (-4, -1) \), например, возьмем \( x = -2 \): \(((-2 - 3)((-2 + 1)((-2 + 4))) = (-5)(-1)(2) = 10 > 0\)

• Для интервала \( (-1, 3) \), например, возьмем \( x = 0 \): \((0 - 3)(0 + 1)(0 + 4) = (-3)(1)(4) = -12 < 0\)

• Для интервала \( (3, +\infty) \), например, возьмем \( x = 4 \): \((4 - 3)(4 + 1)(4 + 4) = (1)(5)(8) = 40 > 0\)

4. Резюмируя, знаки произведения:

   • На интервале \((- \infty, -4)\): отрицательно
   • На интервале \((-4, -1)\): положительно
   • На интервале \((-1, 3)\): отрицательно
   • На интервале \((3, +\infty)\): положительно

5. Условие \( (x - 3)(x + 1)(x + 4) < 0 \) выполняется на интервалах \( (-\infty, -4) \) и \( (-1, 3) \).

Таким образом, итоговые решения неравенства: \[ x \in (-\infty, -4) \cup (-1, 3). \]