Электрический ток не возникает в том случае, если магнит вращать внутри катушки без его вертикального перемещения относительно покоящейся катушки. верно или неверно

Это верно. Для возникновения электрического тока в катушке необходимо изменение магнитного потока, который через неё проходит. Если магнит вращается вокруг своей оси, но его положение относительно катушки остается неизменным (то есть магнит не перемещается вертикально относительно катушки), то магнитный поток через катушку не меняется.

Согласно закону Фарадея, электрический ток индукцируется в катушке, когда происходит изменение магнитного потока. Таким образом, только вращение магнита, без его перемещения, не приведет к индукции тока. Если магнит будет перемещаться или если катушка будет изменять свое положение относительно магнита, тогда будет происходить изменение магнитного потока, что и вызовет появление электрического тока в катушке.