(3 икс-1) (икс-2) (Икс+1) больше0

Чтобы решить неравенство \( (3x - 1)(x - 2)(x + 1) > 0 \), давайте сначала найдем нули каждого множителя, которые помогут определитьIntervals, на которых мы будем рассматривать знаки.

1. Найдем корни:
   • \( 3x - 1 = 0 \) → \( x = \frac{1}{3} \)
   • \( x - 2 = 0 \) → \( x = 2 \)
   • \( x + 1 = 0 \) → \( x = -1 \)

Таким образом, у нас есть три корня: \( x = -1 \), \( x = \frac{1}{3} \), \( x = 2 \).

2. Определим промежутки: Мы имеем следующие промежутки:

   • \( (-\infty, -1) \)
   • \( (-1, \frac{1}{3}) \)
   • \( (\frac{1}{3}, 2) \)
   • \( (2, +\infty) \)

3. Проверим знак произведения на каждом промежутке:

   • Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \((3(-2) - 1)(-2 - 2)(-2 + 1) = (-7)(-4)(-1) < 0\)
   • Для \( -1 < x < \frac{1}{3} \) (например, \( x = 0 \)): \((3(0) - 1)(0 - 2)(0 + 1) = (-1)(-2)(1) > 0\)
   • Для \( \frac{1}{3} < x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \((3(1) - 1)(1 - 2)(1 + 1) = (2)(-1)(2) < 0\)
   • Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \((3(3) - 1)(3 - 2)(3 + 1) = (8)(1)(4) > 0\)

4. Резюме по знакам:

   • На промежутке \( (-\infty, -1) \) — отрицательный;
   • На промежутке \( (-1, \frac{1}{3}) \) — положительный;
   • На промежутке \( (\frac{1}{3}, 2) \) — отрицательный;
   • На промежутке \( (2, +\infty) \) — положительный.

5. Итоговое решение: Неравенство \( (3x - 1)(x - 2)(x + 1) > 0 \) выполняется в промежутках \( (-1, \frac{1}{3}) \) и \( (2, +\infty) \).

Итак, окончательный ответ: \[ x \in (-1, \frac{1}{3}) \cup (2, +\infty) \]