доказать что а целое число, то (2а+1)²-1 делиться на 8 без остатка

Доказательство:

Пусть \( a \) — целое число. Нам нужно доказать, что выражение \( (2a + 1)^2 - 1 \) делится на 8 без остатка.

1. Начнем с раскрытия скобок: \[ (2a + 1)^2 - 1 = (2a + 1)(2a + 1) - 1 = 4a^2 + 4a + 1 - 1 = 4a^2 + 4a. \]

2. Теперь можно вынести \( 4a \) за скобки: \[ 4a^2 + 4a = 4a(a + 1). \]

3. Поскольку \( a \) — целое число, то \( a \) и \( a + 1 \) — два последовательных целых числа. Одно из них обязательно четное, следовательно, их произведение \( a(a + 1) \) делится на 2.

4. Теперь рассмотрим выражение \( 4a(a + 1) \). Поскольку мы установили, что \( a(a + 1) \) делится на 2, это означает, что: \[ a(a + 1) = 2k \text{ для некоторого целого } k. \]

5. Мы можем записать: \[ 4a(a + 1) = 4 \cdot 2k = 8k. \]

Таким образом, \( 4a(a + 1) \) делится на 8.

В заключение, мы доказали, что для любого целого числа \( a \) выражение \( (2a + 1)^2 - 1 \) делится на 8 без остатка.