У Евгения есть карточки с числами 2000, 2001, …, 2048 (на каждой карточке написано ровно одно число, каждое число написано только на одной карточке). Сколькими способами он сможет выбрать 4 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 3?

Для решения этой задачи начнем с анализа свойств чисел от 2000 до 2048 и того, как они делятся на 3.

1. Определение остатков: При делении на 3 числа могут давать остатки 0, 1 или 2. Найдем, как много чисел среди 2000-2048 дают каждый из остатков:
   • Остаток 0 (делится на 3): 2001, 2004, 2007, ..., 2046 (числа вида 2000 + 3k). Последнее число, которое попадает в этот диапазон, - 2046. Подсчитаем количество таких чисел: \[ k = 0, 1, 2, ..., 15 \quad (\text{числа 0, 3, 6, ... , 48}) \] Всего 16 чисел.
   • Остаток 1: 2000, 2003, 2006, ..., 2047 (числа вида 2000 + 3k + 1). Последнее число - 2047. Подсчитываем: \[ k = 0, 1, 2, ..., 16 \quad (\text{числа 0, 3, 6, ... , 47}) \] Всего 17 чисел.
   • Остаток 2: 2002, 2005, 2008, ..., 2048 (числа вида 2000 + 3k + 2). Последнее число - 2048. Подсчитываем: \[ k = 0, 1, 2, ..., 16 \quad (\text{каждое число 0, 3, 6, ... , 46}) \] Всего 16 чисел.

Теперь у нас есть следующая информация:

• Остаток 0: 16 чисел
• Остаток 1: 17 чисел
• Остаток 2: 16 чисел

2. Определение способов выбора 4 карточек: Чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 3, нам нужно рассмотреть комбинации остатков. Возможные варианты:
   • 4 числа с остатком 0
   • 3 числа с остатком 0 и 1 число с остатком 1
   • 3 числа с остатком 0 и 1 число с остатком 2
   • 2 числа с остатком 0, 1 число с остатком 1 и 1 число с остатком 2
   • и так далее...

Посчитаем количество способов для каждого из этих вариантов:

• 4 карточки с остатком 0: \[ C(16, 4) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820 \]

• 3 карточки с остатком 0 и 1 карточка с остатком 1: \[ C(16, 3) \times C(17, 1) = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} \times 17 = 560 \times 17 = 9520 \]

• 3 карточки с остатком 0 и 1 карточка с остатком 2: \[ C(16, 3) \times C(16, 1) = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} \times 16 = 560 \times 16 = 8960 \]

• 2 карточки с остатком 0, 1 карточка с остатком 1 и 1 карточка с остатком 2: \[ C(16, 2) \times C(17, 1) \times C(16, 1) = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} \times 17 \times 16 = 120 \times 17 \times 16 = 32640 \]

• 1 карточка с остатком 0 и 3 карточки с остатком 1: \[ C(16, 1) \times C(17, 3) = 16 \times \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 680 = 10880 \]

• 1 карточка с остатком 0 и 3 карточки с остатком 2: \[ C(16, 1) \times C(16, 3) = 16 \times \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 16 \times 560 = 8960 \]

• 4 карточки с остатком 1: \[ C(17, 4) = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2380 \]

• 4 карточки с остатком 2: \[ C(16, 4) = 1820 \]

Теперь мы можем суммировать все подсчитанные способы: \[ 1820 + 9520 + 8960 + 32640 + 10880 + 8960 + 2380 + 1820 = 59380. \]

Таким образом, Евгений сможет выбрать 4 карточки так, чтобы сумма чисел на выбранных карточках делилась на 3, 59380 способами.