Переписывая контрольную работу, Незнайка ошибся в записи числа, он пропустил первую цифру 3 и добавил лишнюю цифру в конец. Оказалось, что, если умножить на 2, изначальное…

Обозначим исходное четырехзначное число за \( x \). Согласно условию, Незнайка пропустил первую цифру 3, и в результате полученное число выглядит как \( y = \overline{d_1d_2d_3}3d_4 \), где \( d_1, d_2, d_3, d_4 \) — цифры.

Мы получили такое равенство: \[ 2x = y + 456. \]

Можно выразить \( y \) через \( x \):

• Поскольку \( x \) — четырехзначное число, то его можно записать как \( x = 3000 + z \), где \( z \) — трехзначное число (от 0 до 999).

Теперь запишем \( y \): Мы имеем пропущенную цифру 3, поэтому: \[ y = 30000 + z \cdot 10 + d_4 = 30000 + 10z + d_4. \]

Теперь можем подставить \( y \) в равенство: \[ 2(3000 + z) = 30000 + 10z + d_4 + 456, \] что приводит к: \[ 6000 + 2z = 30000 + 10z + d_4 + 456. \]

Соберем все члены с \( z \) и константы отдельно: \[ 6000 - 30000 - 456 = 10z - 2z + d_4, \] \[ -23600 = 8z + d_4. \]

Теперь мы можем выразить \( z \): \[ 8z + d_4 = -23600. \]

\( d_4 \) — это последняя цифра числа, она может принимать значения от 0 до 9, а значит, \( d_4 \) всегда будет неотрицательным. Это приводит к противоречию, так как \( 8z \) при любом минимально возможном значении не может быть рождено отрицательным.

Таким образом, рассмотрим важное свойство числа — оно делится на 9. Это означает, что сумма цифр \( x \) должна делиться на 9.

Теперь выразим более четко \( x \): \[ x = 3000 + z, \] где \( z \) — значение трехзначного числа.

Формула суммы цифр:

• Сумма цифр \( x \) равна \( 3 + s(z) \), где \( s(z) \) — сумма цифр числа \( z \).

Таким образом, \( 3 + s(z) \equiv 0 \,(\text{mod } 9)\) тогда: \[ s(z) \equiv 6 \,(\text{mod } 9). \]

Теперь попробуем подобрать подходящие значения \( x \) от 3000 до 9999 (четырехзначные числа).

Найдём такие числа между 3000 и 9999, где \( 3 + s(z) \equiv 0 \,(\text{mod } 9)\), которые также удовлетворяют первому условию.

Давайте проверим 3456:

• 3 + 4 + 5 + 6 = 18, что делится на 9.

Вам потребуется продолжать проверки, особенно актуализируя свой поиск, беря на себя подразделение по значениям 3000 до 9999, основанное на условиях делимости и конкретных изменениях числа.

Пожалуйста, попробуйте разные \( z \) и значения, чтобы отыскать еще результаты.