2-2

Привет! Давай решим задачи вместе. Давай начнем с задачи под номером 4 и будем по очереди решать последующие. Я объясню, как их решать.

Задача 4:

Представьте в виде степени произведения:

1. \( m^2 \times m^5 \)
2. \( b^8 \times b^4 \)
3. \( 7^4 \times 7^8 \)
4. \( (m - n)^3 \times (m - n)^7 \)
5. \( a^{11} \times a^{-7} \)
6. \( 2^{21} \times 2^{13} \)
7. \( a^w \times a^z \times a^2 \)

Решение:

При умножении степеней с одинаковым основанием складываем их показатели.

1. \( m^2 \times m^5 = m^{2+5} = m^7 \)
2. \( b^8 \times b^4 = b^{8+4} = b^{12} \)
3. \( 7^4 \times 7^8 = 7^{4+8} = 7^{12} \)
4. \( (m - n)^3 \times (m - n)^7 = (m - n)^{3+7} = (m - n)^{10} \)
5. \( a^{11} \times a^{-7} = a^{11-7} = a^4 \)
6. \( 2^{21} \times 2^{13} = 2^{21+13} = 2^{34} \)
7. \( a^w \times a^z \times a^2 = a^{w+z+2} \)

Задача 5:

Представьте в виде степени частного:

1. \( \frac{a^4}{a^8} \)
2. \( \frac{b^5}{b^3} \)
3. \( \frac{15^4}{15} \)
4. \( \frac{a^{10}}{a^5} \)
5. \( \frac{(x+y)^7}{(x+y)^4} \)
6. \( \frac{(-a)^8}{(-a)^3} \)

Решение:

При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.

1. \( \frac{a^4}{a^8} = a^{4-8} = a^{-4} \)
2. \( \frac{b^5}{b^3} = b^{5-3} = b^2 \)
3. \( \frac{15^4}{15} = 15^{4-1} = 15^3 \)
4. \( \frac{a^{10}}{a^5} = a^{10-5} = a^5 \)
5. \( \frac{(x+y)^7}{(x+y)^4} = (x+y)^{7-4} = (x+y)^3 \)
6. \( \frac{(-a)^8}{(-a)^3} = (-a)^{8-3} = (-a)^5 \)

Задача 6:

Замените звёздочку такой степенью с основанием a, чтобы выполнялось равенство:

1. \( a^7 \times a^* = a^{10} \)
2. \( a^6 : a^* = a^3 \)
3. \( (a^2)^* = a^{10} \)
4. \( a^{17} : a^* = a^9 \)

Решение:

Используем свойства степеней.

1. \( a^7 \times a^* = a^{10} \rightarrow a^{7+*} = a^{10} \rightarrow * = 3 \)
2. \( a^6 : a^* = a^3 \rightarrow a^{6-*} = a^3 \rightarrow * = 3 \)
3. \( (a^2)^* = a^{10} \rightarrow a^{2*} = a^{10} \rightarrow 2* = 10 \rightarrow * = 5 \)
4. \( a^{17} : a^* = a^9 \rightarrow a^{17-*} = a^9 \rightarrow * = 8 \)

Задача 7:

Выпишите выражение в виде степени и вычислите его значение:

1. \( 3^4 \times 3^4 \)
2. \( 5^{12} : 5^5 \)
3. \( (2^7)^3 \)
4. \( 5^0 \times 5^{-2} \)
5. \( (-1)^7 \times (-1)^{-10} \)
6. \( \frac{10^8 \times 10^0}{10^{10}} \)

Решение:

1. \( 3^4 \times 3^4 = 3^{4+4} = 3^8 \)
2. \( 5^{12} : 5^5 = 5^{12-5} = 5^7 \)
3. \( (2^7)^3 = 2^{7 \times 3} = 2^{21} \)
4. \( 5^0 \times 5^{-2} = 5^{0-2} = 5^{-2} \)
5. \( (-1)^7 \times (-1)^{-10} = (-1)^{7-10} = (-1)^{-3} = -1 \)
6. \( \frac{10^8 \times 10^0}{10^{10}} = \frac{10^8 \times 1}{10^{10}} = 10^{8-10} = 10^{-2} \)

Задача 8:

Представьте степени в виде произведения степеней:

1. \( a^{rm} \)
2. \( p^{a+b} \)
3. \( (a^3b^4)^c \)
4. \( (15^4)^{2r} \)

Решение:

1. \( a^{rm} = (a^r)^m \)
2. \( p^{a+b} = p^a \times p^b \)
3. \( (a^3b^4)^c = a^{3c} \times b^{4c} \)
4. \( (15^4)^{2r} = 15^{4 \cdot 2r} = 15^{8r} \)

Задача 9:

Выпишите одночлены в виде степеней:

1. \( a^2b^3 \times a^5b \)
2. \( -m^3 \)
3. \( 16a^3y^{12} \)
4. \( 1 000k^6r^6 \)

Решение:

1. \( a^2b^3 \times a^5b = a^{2+5}b^{3+1} = a^7b^4 \)
2. \( -m^3 \) остается без изменений.
3. \( 16a^3y^{12} \) остается без изменений.
4. \( 1 000k^6r^6 = 10^3 \times k^6 \times r^6 = (10k)^6r^6 \)

Если какие-то задачи остались неясны, давай обсудим их подробнее!