6. Некоторое расстояние велосипедист планировал проехать за 2 часа. Но через 1 ч 30 мин после начала движения он снизил скорость на 3 км/ч, из-за чего приехал на 10 мин позже запланированного. Какова первоначальная скорость ?

Для решения задачи давайте введем обозначения:

1. Пусть первоначальная скорость велосипедиста будет \( v \) км/ч.
2. Планируемое время для преодоления расстояния равно 2 часа, следовательно, расстояние, которое он планировал проехать, равно \( S = v \times 2 \) км.

Время, которое он проехал до изменения скорости, составляет 1 час 30 минут, что эквивалентно \( 1,5 \) часа. За это время он проехал:

\[ S_1 = v \times 1,5 \]

Теперь он снижает скорость на 3 км/ч, и его новая скорость составляет \( v - 3 \) км/ч. После этого он должен проехать оставшееся расстояние. Это расстояние можно выразить как:

\[ S_2 = S - S_1 = 2v - 1,5v = 0,5v \]

Теперь время, которое он затратит на оставшееся расстояние, равно:

\[ t_2 = \frac{S_2}{v - 3} = \frac{0,5v}{v - 3} \]

По условию задачи он приехал на 10 минут позже запланированного времени. Поскольку у него было запланировано 2 часа, фактическое время в пути составило:

\[ 2 \text{ часа} + 10 \text{ минут} = 2 \text{ часа} + \frac{10}{60} \text{ часа} = 2 + \frac{1}{6} = \frac{13}{6} \text{ часа} \]

Общее время в пути равно сумме времени, проведенного на первом участке, и времени на втором участке:

\[ 1,5 + \frac{0,5v}{v - 3} = \frac{13}{6} \]

Преобразуем уравнение:

1. Преобразуем \( 1,5 \) в шестые доли: \( 1,5 = \frac{9}{6} \)

2. Подставим это в уравнение: \[ \frac{9}{6} + \frac{0,5v}{v - 3} = \frac{13}{6} \]

3. Выразим вторую часть: \[ \frac{0,5v}{v - 3} = \frac{13}{6} - \frac{9}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

4. Умножим на \( 6(v - 3) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 6 \cdot 0,5v = 2(v - 3) \]

5. Упрощаем: \[ 3v = 2v - 6 \]

6. Переносим \( 2v \) на левую сторону: \[ 3v - 2v = -6 \] \[ v = -6 \]

Это значение скорости очевидно не может быть отрицательным. Давайте еще раз внимательно пересчитаем.

По факту, мы сделали ошибку на шаге 4. Давайте сделаем это заново:

1. Мы можем еще раз записать уравнение \( 1,5 + \frac{0,5v}{v - 3} = \frac{13}{6} \).

2. Соберем в одном месте: \[ \frac{0,5v}{v - 3} = \frac{13}{6} - \frac{9}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

3. Умножим на \( 3(v - 3) \): \[ 3 \cdot 0,5v = 2(v - 3) \] \[ 1,5v = 2v - 6 \]

4. Переносим \( 2v \) на левую сторону: \[ 1,5v - 2v = -6 \] \[ -0,5v = -6 \] \[ v = 12 \text{ км/ч.} \]

Теперь проверим результат:

• Первоначальная скорость велосипедиста составляет 12 км/ч.
• Расстояние, которое он планировал проехать: \( S = 12 \times 2 = 24 \) км.
• Он проехал 1,5 часа на скорости 12 км/ч, т.е. проехал \( 12 \times 1,5 = 18 \) км.
• Осталось проехать \( 24 - 18 = 6 \) км на скорости \( 12 - 3 = 9 \) км/ч.
• Время, необходимое для оставшегося расстояния: \( \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \) часа, что составляет 40 минут.

Таким образом, общее время в пути составляет 1,5 часа + 40 минут = 2 часа 10 минут, что подтверждает, что он пришел на 10 минут позже запланированного времени.

Итак, первоначальная скорость велосипедиста составляет 12 км/ч.