Султан пришел на торговую площадь, чтобы купить слона. У него есть только золотые монеты номиналом 5 и 6 динаров, но ни того, ни другого вида монет у него не больше 10. На площади он решил купить слона за N динаров, но понял, что не сможет расплатиться без сдачи. Какое наибольшее значение может принимать натуральное N, если оно не больше 50?
Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим доступные монеты: у нас есть монеты номиналом 5 и 6 динаров, и у султана не больше 10 монет каждого типа.
Сначала определим максимально возможные суммы, которые султан может собрать, используя монеты:
Если он использует только 5 динаровые монеты, максимальная сумма будет: \( 10 \times 5 = 50 \) динаров.
Если он использует только 6 динаровые монеты, максимальная сумма будет: \( 10 \times 6 = 60 \) динаров (но нам нужно число не больше 50, то есть это нам не подходит).
Теперь давайте рассчитаем, какие суммы можно получить, комбинируя обе монеты. Обозначим количество монет номиналом 5 динаров как \( x \), а количество монет номиналом 6 динаров как \( y \). Существует множество случаев:
- \( 0 \leq x \leq 10 \)
- \( 0 \leq y \leq 10 \)
Сумма, которую он может получить, будет представлена так: \[ S = 5x + 6y \]
Теперь мы хотим найти наибольшее значение \( N \), при котором не удаётся расплатиться без сдачи. Это значит, что остаток от деления суммы \( S \) на 11 (так как 5 и 6 дают в сумме 11) должен быть равен 1, 2, ..., 10. То есть, мы должны найти, при каких \( N \) значение \( N \mod 11 \) равно 1 (чтобы не было возможности расплатиться).
Теперь давайте рассмотрим натуральные \( N \), которые меньше или равны 50 и при этом дают остаток 1 при делении на 11. Это:
- \( 1 \)
- \( 12 \)
- \( 23 \)
- \( 34 \)
- \( 45 \)
Из этих чисел наибольшее значение — \( 45 \).
Таким образом, наибольшее значение \( N \), за которое султан не сможет расплатиться без сдачи, равно 45 динаров.
