3x - 4/ x-2 меньше 1
Чтобы решить неравенство \( \frac{3x - 4}{x - 2} < 1 \), сначала можем перенести 1 в левую часть неравенства:
\[ \frac{3x - 4}{x - 2} - 1 < 0 \]
Теперь приведем к общему знаменателю:
\[ \frac{3x - 4 - (x - 2)}{x - 2} < 0 \]
Упростим числитель:
\[ 3x - 4 - x + 2 = 2x - 2 \]
Теперь неравенство можно записать так:
\[ \frac{2x - 2}{x - 2} < 0 \]
Далее, можно вынести 2 из числителя:
\[ \frac{2(x - 1)}{x - 2} < 0 \]
Теперь определим, при каких значениях неравенство будет выполняться. Мы ищем, когда дробь \( \frac{2(x - 1)}{x - 2} \) меньше нуля. Для этого определим нули числителя и знаменателя:
- Числитель равен нулю, когда \( x - 1 = 0 \), то есть \( x = 1 \).
- Знаменатель равен нулю, когда \( x - 2 = 0 \), то есть \( x = 2 \).
Теперь определим знаки дроби на интервалах, которые получаются из этих точек: \( (-\infty, 1) \), \( (1, 2) \) и \( (2, +\infty) \).
- В интервале \( (-\infty, 1) \): выберем, например, \( x = 0 \) \[ \frac{2(0 - 1)}{0 - 2} = \frac{2(-1)}{-2} = 1 \quad (> 0) \]
- В интервале \( (1, 2) \): выберем, например, \( x = 1.5 \) \[ \frac{2(1.5 - 1)}{1.5 - 2} = \frac{2(0.5)}{-0.5} = -2 \quad (< 0) \]
- В интервале \( (2, +\infty) \): выберем, например, \( x = 3 \) \[ \frac{2(3 - 1)}{3 - 2} = \frac{2(2)}{1} = 4 \quad (> 0) \]
Теперь мы видим, что дробь \( \frac{2(x - 1)}{x - 2} < 0 \) выполняется только в интервале \( (1, 2) \).
Таким образом, решение неравенства:
\[ x \in (1, 2) \]
