В некотором игровом мире есть ряд пронумерованных столбиков. На первом столбике сидят лягушка и кузнечИК. Лягушка умеет прыгать только через три столбика за один прыЖок, а кузнечик-только через пять. Таким образом, за один прыжоК с первого столбика лягушка может прыгнуть на пятый, а кузнечик - на седьмой столбики. Лягушка и кузнечик начали скакать вперед по ряду столбиков. Определите номер ближайшего столбика, на котором лягушка и кузнечик смогут встретиться вновЬ.

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим номера столбиков, на которых находятся лягушка и кузнечик.

Лягушка начинает с 1-го столбика и делает прыжки через 3 столбика, поэтому её последовательные столбики будут:
1, 5, 9, 13, 17, ...
Эти числа можно описать формулой: \( n_L = 1 + 4k \), где \( k \) — неотрицательное целое число (0, 1, 2, ...).

Кузнечик начинает с 1-го столбика и прыгает через 5 столбиков, так что его последовательные столбики будут:
1, 6, 11, 16, 21, ...
Эти числа можно описать формулой: \( n_C = 1 + 5m \), где \( m \) — неотрицательное целое число (0, 1, 2, ...).

Теперь необходимо найти такое число, которое встречается в обоих последовательностях (и лягушки, и кузнечика). Если приравнять обе формулы, мы получим:

\[ 1 + 4k = 1 + 5m \]

Упростим это уравнение:

\[ 4k = 5m \]

Это уравнение говорит нам, что \( m \) должно быть кратно 4, а \( k \) должно быть кратно 5. Итак, мы можем указать:

\[ m = 4t \] \[ k = 5t \]

где \( t \) — неотрицательное целое число.

Теперь подставим \( t \) в формулы олимпийца и лягушки:

Для лягушки:

\[ n_L = 1 + 4(5t) = 1 + 20t \]

Для кузнечика:

\[ n_C = 1 + 5(4t) = 1 + 20t \]

Как мы видим, оба значения равны. Следовательно, ближайший столбик, на котором лягушка и кузнечик встретятся снова, соответствует \( t = 1 \):

\[ n_L = n_C = 1 + 20 \cdot 1 = 21 \]

Таким образом, ближайший столбик, на котором лягушка и кузнечик смогут встретиться вновЬ, имеет номер 21.