Первую секунду равноускоренного движения по прямой из состояния покоя тело двигалось со средней скоростью 2 м/с, а последнюю секунду - со средней скоростью 22 м/с. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Давайте обозначим время полного движения за \( T \) секунд. По условию задачи, в первую секунду тело двигалось со средней скоростью 2 м/с, а в последнюю секунду — со средней скоростью 22 м/с.
Определим путь, пройденный в первую и последнюю секунды:
- Путь в первую секунду (необходимо учесть, что скорость средняя): \[ S_1 = v_1 \cdot t_1 = 2 \, \text{м/с} \cdot 1\, \text{с} = 2\, \text{м} \]
- Путь в последнюю секунду: \[ S_T = v_T \cdot t_T = 22\, \text{м/с} \cdot 1\, \text{с} = 22\, \text{м} \]
Обозначим среднюю скорость за всё время: Средняя скорость \( v_{\text{ср}} \) на всём пути определяется как: \[ v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{total}}}{T} \] где \( S_{\text{total}} \) — это общий путь за время \( T \).
Найдем путь за \( T \) секунд: По формуле равноускоренного движения, путь \( S \) за всё время можно найти через начальную скорость (в данном случае 0), конечную скорость \( v_T \) и время \( T \): \[ S = \frac{v_0 + v_T}{2} \cdot T \] Поскольку начальная скорость \( v_0 = 0 \): \[ S = \frac{0 + v_T}{2} \cdot T = \frac{v_T}{2} \cdot T \]
Определим конечную скорость \( v_T \): Используем информацию о путях в первую и последнюю секунду для нахождения \( T \).
- Путь в среднем за \( T \) секунд можно выразить как: \[ S = S_1 + S_Т + S_{\text{средние}} \text{(средние пути в промежутках между первой и последней секунды)} \]
- Для получения средней скорости между 2 м/с и 22 м/с, можно ввести более точный расчет, но проще всего заметить, что:
- В середине \( T \) также будет некоторое среднее значение, между 2 м/с и 22 м/с, то есть скорей всего, переменные (по времени) будут в идеале равномерно совпадать.
Определить \( T \) для нашего случая: У нас есть две скорости: 2 м/с (первый) и 22 м/с (последний). Если тело движется равномерно с определенной \( a \), путь будет равен: \[ v_T = aT \quad (конечная скорость, равномерно) \] Отсюда система уравнений: можем строить аналогично среднему.
Таким образом: \[ v_{\text{avg}} = (2 + 22) / 2 = 12 \text{м/с} \]
Итог: Средняя скорость на всем пути, учитывая первое и последнее значения скорости. \[ v_{\text{ср}} = \frac{S_{\text{total}}}{T} \] После замещения и подбора расчет будет стремиться к 12 м/с.
В конечном итоги средняя скорость всего пути составит 12 м/с.
