В ряд стоят 1999 чисел. Первое число равно 1. Известно, что каждое число, кроме первого и последнего, равно сумме двух соседних. Найдите последнее число.
Давайте рассмотрим задачу по порядку. У нас имеется 1999 чисел, где первое число равно 1, а каждое из чисел, кроме первого и последнего, равно сумме своих соседей. Обозначим первое число как \( a_1 \), второе как \( a_2 \), и так далее, до последнего числа \( a_{1999} \).
Согласно условию:
- \( a_1 = 1 \)
- \( a_k = a_{k-1} + a_{k+1} \) для каждого \( k \) от 2 до 1998.
Для удобства разберем это уравнение. Если выразить \( a_{k+1} \) через \( a_k \) и \( a_{k-1} \), мы получим: \[ a_{k+1} = a_k - a_{k-1} \]
Таким образом, мы можем найти значения чисел на основе предыдущих двух. Начнем с того, что у нас есть:
- \( a_1 = 1 \)
Пусть \( a_2 = x \) (где \( x \) — произвольное число). Теперь, используя нашу формулу:
- \( a_3 = a_2 - a_1 = x - 1 \)
- \( a_4 = a_3 - a_2 = (x - 1) - x = -1 \)
- \( a_5 = a_4 - a_3 = -1 - (x - 1) = -x \)
- \( a_6 = a_5 - a_4 = -x - (-1) = -x + 1 \)
И так далее. Продолжим находить значения:
- \( a_7 = a_6 - a_5 = (-x + 1) - (-x) = 1 \)
- \( a_8 = a_7 - a_6 = 1 - (-x + 1) = x \)
- \( a_9 = a_8 - a_7 = x - 1 \)
- \( a_{10} = a_9 - a_8 = (x - 1) - x = -1 \)
Как видно, числа начинают повторяться каждые 6 элементов. Поэтому, если мы определим последовательность \( a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \) как:
- \( a_1 = 1 \)
- \( a_2 = x \)
- \( a_3 = x - 1 \)
- \( a_4 = -1 \)
- \( a_5 = -x \)
- \( a_6 = -x + 1 \)
То для \( n \) чисел будет выполняться следующее:
- Каждый шестой элемент будет равен первому
Таким образом, мы можем сказать, что \( a_{1999} \) будет таким же, как \( a_{1999 \mod 6} \).
Вычислим, что \( 1999 \mod 6 = 1 \). Это означает, что \( a_{1999} = a_1 = 1 \).
Итак, последнее число в ряду составляет: \[ a_{1999} = 1 \]
Ответ: последнее число равно 1.
