Докажите, что является чётной функция у=f(x): 1) f(x) = x²+cos²x; 2) f(x) = x⁴cosx; 3) f(x) = (2–x²)cos²x; 4) f(x) = xsin³x+cosx; 5) f(x) = sinx/x³–4x+cos2x; 6) f(x) =…

Чтобы доказать, что функция является четной, необходимо показать, что для всех \( x \) в области определения функции выполняется равенство \( f(-x) = f(x) \). Давайте проверим каждую из указанных функций.

1. \( f(x) = x^2 + \cos^2 x \)
   Проверим:
   \( f(-x) = (-x)^2 + \cos^2(-x) = x^2 + \cos^2 x = f(x) \)
   Функция четная.

2. \( f(x) = x^4 \cos x \)
   Проверим:
   \( f(-x) = (-x)^4 \cos(-x) = x^4 \cos x = f(x) \)
   Функция четная.

3. \( f(x) = (2 - x^2) \cos^2 x \)
   Проверим:
   \( f(-x) = (2 - (-x)^2) \cos^2(-x) = (2 - x^2) \cos^2 x = f(x) \)
   Функция четная.

4. \( f(x) = x \sin^3 x + \cos x \)
   Проверим:
   \( f(-x) = -x \sin^3(-x) + \cos(-x) = -x (-\sin^3 x) + \cos x = x \sin^3 x + \cos x = f(x) \)
   Функция нечетная, поскольку \( f(-x) = -f(x) \).

5. \( f(x) = \frac{\sin x}{x^3} - 4x + \cos 2x \)
   Проверим:
   \( f(-x) = \frac{\sin(-x)}{(-x)^3} - 4(-x) + \cos(-2x) = \frac{-\sin x}{-x^3} + 4x + \cos 2x = \frac{\sin x}{x^3} + 4x + \cos 2x \)
   Здесь не выполняется равенство \( f(-x) = f(x) \). Функция нечетная.

6. \( f(x) = \cos x - \frac{\sin^3 x}{x^5} - 9x \)
   Проверим:
   \( f(-x) = \cos(-x) - \frac{\sin^3(-x)}{(-x)^5} - 9(-x) = \cos x - \frac{-\sin^3 x}{-x^5} + 9x = \cos x - \frac{\sin^3 x}{x^5} + 9x \)
   Это также не равно \( f(x) \). Функция нечетная.

Подводя итог, четные функции:

1. \( x^2 + \cos^2 x \)
2. \( x^4 \cos x \)
3. \( (2 - x^2) \cos^2 x \)

Нечетные функции:
4) \( x \sin^3 x + \cos x \)
5) \( \frac{\sin x}{x^3} - 4x + \cos 2x \)
6) \( \cos x - \frac{\sin^3 x}{x^5} - 9x \)