Раил задумал четырёхзначное число. Оно обладает следующими свойствами: 1) Делится без остатка на 5, 2) Цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков, 3) Сумма первой и…
Раил задумал четырёхзначное число. Оно обладает следующими свойствами: 1) Делится без остатка на 5, 2) Цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков, 3) Сумма первой и последней цифры в 4 раза меньше двузначного числа, образованного второй и третьей цифрами задуманного числа, 4) Цифра в разряде тысяч больше цифры в разряде сотен на 2. Какое число задумал Раил?
Давайте разберёмся с условиями, которые задаёт Раил. Мы ищем четырёхзначное число, обозначим его как \( ABCD \), где \( A \) — цифра тысяч, \( B \) — цифра сотен, \( C \) — цифра десятков, \( D \) — последняя цифра.
Теперь рассмотрим каждое условие:
Число делится на 5: Это означает, что последняя цифра \( D \) может быть 0 или 5.
Цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков: Это значит, что \( B = \frac{C}{2} \). Это возможно только для чётных значений \( C \) (0, 2, 4, 6, 8), и следовательно, \( B \) будет целым числом.
Сумма первой и последней цифры в 4 раза меньше двузначного числа, образованного второй и третьей цифрами: Это условие можно записать как \( A + D = \frac{1}{4} (10B + C) \).
Цифра в разряде тысяч больше цифры в разряде сотен на 2: Это уравнение выглядит так: \( A = B + 2 \).
Теперь давайте подставим известные значения и решим систему уравнений.
Подставим \( B \) из второго уравнения в четвёртое:
Если \( C = 2B \), то \( A = B + 2 \) приводит нас к следующему:
- Если \( C = 2 \), то \( B = 1 \) и \( A = 3\).
- Если \( C = 4 \), то \( B = 2 \) и \( A = 4\).
- Если \( C = 6 \), то \( B = 3 \) и \( A = 5\).
- Если \( C = 8 \), то \( B = 4 \) и \( A = 6\).
Теперь проверим каждое из этих значений на соответствие остальным условиям:
Для \( C = 2, B = 1, A = 3 \):
- \( D = 0\) (число 3120).
- Сумма \( A + D = 3 + 0 = 3 \); \( 10B + C = 10 \cdot 1 + 2 = 12; \frac{12}{4} = 3\). Это подходит.
Для \( C = 4, B = 2, A = 4 \):
- \( D = 0\) (число 4240).
- Сумма \( A + D = 4 + 0 = 4\); \( 10B + C = 10 \cdot 2 + 4 = 24; \frac{24}{4} = 6\). Это не подходит.
Для \( C = 6, B = 3, A = 5 \):
- \( D = 0\) (число 5360).
- Сумма \( A + D = 5 + 0 = 5 \); \( 10B + C = 10 \cdot 3 + 6 = 36; \frac{36}{4} = 9\). Это не подходит.
Для \( C = 8, B = 4, A = 6 \):
- \( D = 0\) (число 6480).
- Сумма \( A + D = 6 + 0 = 6 \); \( 10B + C = 10 \cdot 4 + 8 = 48; \frac{48}{4} = 12\). Это не подходит.
Из всех возможных случаев единственным подходящим числом является 3120.
Ответ: Раил задумал число 3120.
