Что на фото

Привет! Давай разберёмся с этой задачей вместе. Нам нужно найти все значения параметра \(a\), при которых уравнение \( (x^2 - 6)(3 - 2x) = a \) имеет три различных решения.

1. Для начала упростим уравнение: рассмотрим функцию \( f(x) = (x^2 - 6)(3 - 2x) \).
2. Для нахождения решений уравнения необходимо, чтобы функция \( f(x) \) пересекала прямую \( y = a \) в трёх точках.

Для этого исследуем функцию \( f(x) \): \[ f(x) = (x^2 - 6)(3 - 2x) = 3x^2 - 2x^3 - 18 + 12x \] или \[ f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x - 18 \]

3. Теперь мы должны найти критические точки функции. Для этого найдём производную \( f'(x) \) и запишем: \[ f'(x) = -6x^2 + 6x + 12 \]

4. Решим уравнение \( f'(x) = 0 \): \[ -6x^2 + 6x + 12 = 0 \] Разделим уравнение на -6: \[ x^2 - x - 2 = 0 \]

5. Найдём корни квадратного уравнения: \[ x^2 - x - 2 = 0 \] Используя формулу для решения квадратного уравнения, находим: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \] Корни: \[ x_1 = 2 \] \[ x_2 = -1 \]

6. Подставим эти значения в функцию \( f(x) \), найдём \( f(2) \) и \( f(-1) \).

\[ f(2) = -2(2^3) + 3(2^2) + 12(2) - 18 \] \[ f(2) = -16 + 12 + 24 - 18 \] \[ f(2) = 2 \]

\[ f(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) - 18 \] \[ f(-1) = 2 + 3 - 12 - 18 \] \[ f(-1) = -25 \]

7. Для того чтобы уравнение \( f(x) = a \) имело три различных корня, значение \( a \) должно быть строго между наибольшим и наименьшим значениями \( f(x) \).

Таким образом, \[ -25 < a < 2. \]

Ответ: Все значения параметра \( a \), при которых уравнение имеет три различных решения: \[ a \in (-25, 2). \]