При каких значениях параметра p квадратное уравнение 3x²-2px-p+6=0 a)имеет два различных корня. б) имеет один корень . в) не имеет корней . г) имеет хотя бы один корень?
Чтобы определить, при каких значениях параметра \( p \) квадратное уравнение \( 3x^2 - 2px - p + 6 = 0 \) имеет различные корни, один корень, не имеет корней или имеет хотя бы один корень, необходимо рассмотреть дискриминант.
Квадратное уравнение имеет вид:
\[ Ax^2 + Bx + C = 0, \]
где:
- \( A = 3 \),
- \( B = -2p \),
- \( C = -p + 6 \).
Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = B^2 - 4AC. \]
Подставим значения \( A \), \( B \) и \( C \):
\[ D = (-2p)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-p + 6) = 4p^2 + 12(p - 6). \]
Упростим это выражение:
\[ D = 4p^2 + 12p - 72. \]
Теперь у нас есть дискриминант в зависимости от параметра \( p \).
а) Уравнение имеет два различных корня:
Для этого дискриминант должен быть больше нуля:
\[ D > 0 \implies 4p^2 + 12p - 72 > 0. \]
Решим неравенство. Сначала найдем корни уравнения \( 4p^2 + 12p - 72 = 0 \) с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ p = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-72)}}{2 \cdot 4}. \]
Посчитаем дискриминант для этой формулы:
\[ D = 144 + 1152 = 1296. \] Тогда:
\[ p = \frac{-12 \pm 36}{8}. \]
Корни:
- \( p_1 = \frac{24}{8} = 3 \),
- \( p_2 = \frac{-48}{8} = -6 \).
Знак параболы \( 4p^2 + 12p - 72 \) положителен вне интервала \( (-6, 3) \). Поэтому:
\[ p < -6 \quad \text{или} \quad p > 3. \]
б) Уравнение имеет один корень:
Здесь дискриминант должен быть равен нулю:
\[ D = 0 \implies 4p^2 + 12p - 72 = 0. \]
Найдём значения \( p \):
\[ p = -6 \quad \text{или} \quad p = 3. \]
в) Уравнение не имеет корней:
Для того чтобы дискриминант был меньше нуля:
\[ D < 0 \implies 4p^2 + 12p - 72 < 0. \]
Это происходит на интервале \( -6 < p < 3 \).
г) Уравнение имеет хотя бы один корень:
Это условие выполняется, если дискриминант не отрицателен:
\[ D \geq 0 \implies -6 \leq p \leq 3. \]
В итоге:
- а) \( p < -6 \) или \( p > 3 \) (два различных корня),
- б) \( p = -6 \) или \( p = 3 \) (один корень),
- в) \( -6 < p < 3 \) (не имеет корней),
- г) \( -6 \leq p \leq 3 \) (хотя бы один корень).
