В субботу Синеглазка отправилась в гости к Кнопочке и прошла путь с постоянной скоростью. В воскресенье Синеглазка с такой же постоянной скоростью вначале дошла к Знайке, откуда они вместе пошли в гости к Кнопочке, ускорившись в 3 раза. Известно, что •дома друзей расположены на одной прямой; •домик Синеглазки находится между домами Знайки и Кнопочки;. расстояние от дома Знайки до дома Кнопочки в 6 раз больше расстояния от дома Синеглазки до дома Кнопочки. Во сколько раз время, затраченное на весь путь Синеглазки в субботу, меньше времени, затраченного на весь путь Синеглазки в воскресенье?

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим некоторые величины:

• Пусть \( d \) — расстояние от дома Синеглазки до дома Кнопочки.
• Тогда расстояние от дома Знайки до дома Кнопочки будет \( 6d \), поскольку оно в 6 раз больше.

В субботу Синеглазка идет от своего дома до Кнопочки, преодолев расстояние \( d \) с постоянной скоростью \( v \). Обозначим время, затраченное на этот путь, как \( t_1 \). Мы можем выразить \( t_1 \) следующим образом:

\[ t_1 = \frac{d}{v} \]

В воскресенье Синеглазка сначала идет от своего дома до дома Знайки, а затем они вместе идут к Кнопочке, увеличив свою скорость в 3 раза. Пусть расстояние от дома Синеглазки до дома Знайки обозначим как \( x \). Тогда Синеглазка проходит \( x \) до дома Знайки и затем вместе с Знайкой проходит расстояние от Знайки до Кнопочки, которое равно \( 6d - x \).

Таким образом, общее время, затраченное Синеглазкой в воскресенье, обозначим как \( t_2 \):

1. Время, затраченное на путь до Знайки:

\[ t_{S до Знайки} = \frac{x}{v} \]

2. Время, затраченное на путь от Знайки до Кнопочки с новой скоростью \( 3v \):

\[ t_{Знайка до Кнопочки} = \frac{6d - x}{3v} \]

Теперь сложим эти два времени:

\[ t_2 = t_{S до Знайки} + t_{Знайка до Кнопочки} = \frac{x}{v} + \frac{6d - x}{3v} \]

Приведем к общему знаменателю:

\[ t_2 = \frac{3x + 6d - x}{3v} = \frac{2x + 6d}{3v} \]

Теперь нам необходимо найти отношение времени \( t_1 \) к \( t_2 \):

\[ \frac{t_1}{t_2} = \frac{\frac{d}{v}}{\frac{2x + 6d}{3v}} = \frac{d \cdot 3v}{v(2x + 6d)} = \frac{3d}{2x + 6d} \]

Теперь давайте найдем \( x \) (расстояние от дома Синеглазки до дома Знайки). Поскольку расстояние от дома Знайки до Кнопочки в 6 раз больше расстояния от дома Синеглазки до Кнопочки и Синеглазки находится между Знайкой и Кнопочкой, мы можем записать:

\[ 6d = x + d \quad \Rightarrow \quad 6d - d = x \quad \Rightarrow \quad x = 5d \]

Теперь подставим \( x \) в выражение для отношения времени:

\[ \frac{3d}{2(5d) + 6d} = \frac{3d}{10d + 6d} = \frac{3d}{16d} = \frac{3}{16} \]

Теперь найдем, во сколько раз время, затраченное на путь в субботу, меньше времени в воскресенье:

\[ \text{Отношение времени} = \frac{t_2}{t_1} = \frac{16}{3} \]

Таким образом, время, затраченное на весь путь Синеглазки в субботу, меньше времени, затраченного на весь путь в воскресенье, в \(\frac{16}{3}\) раз.