Корень 2:(1-х) (1+2х) , найти области определения

Чтобы найти область определения функции \( f(x) = \sqrt{2(1 - x)(1 + 2x)} \), необходимо убедиться, что подкоренное выражение не отрицательно, так как квадратный корень из отрицательного числа не является действительным.

Рассмотрим подкоренное выражение: \[ 2(1 - x)(1 + 2x) \geq 0. \]

1. Раскроем скобки: \[ 2(1 - x)(1 + 2x) = 2(1 + 2x - x - 2x^2) = 2(1 + x - 2x^2). \] Упростим это: \[ 2(1 + x - 2x^2) = 2 - 4x^2 + 2x. \]

2. Мы ищем, когда \( (1 - x)(1 + 2x) \geq 0 \). Для этого определим нули выражения:

   • \( 1 - x = 0 \) при \( x = 1 \).
   • \( 1 + 2x = 0 \) при \( x = -\frac{1}{2} \).

3. Теперь определим интервалы, в которых выражение \( (1 - x)(1 + 2x) \) знаково:

   • Интервалы: \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \), \( (-\frac{1}{2}, 1) \), \( (1, +\infty) \).

   Проверим знаки в каждом интервале:

   • На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{2}) \): выберем \( x = -1 \). Тогда \( (1 - (-1))(1 + 2(-1)) = (1 + 1)(1 - 2) = 2 \cdot (-1) < 0 \).
   • На интервале \( (-\frac{1}{2}, 1) \): выберем \( x = 0 \). Тогда \( (1 - 0)(1 + 0) = 1 \cdot 1 > 0 \).
   • На интервале \( (1, +\infty) \): выберем \( x = 2 \). Тогда \( (1 - 2)(1 + 2 \cdot 2) = (-1)(1 + 4) = -5 < 0 \).

4. Подводя итоги, подкоренное выражение неотрицательно на интервале \( \left[-\frac{1}{2}, 1\right] \).

Таким образом, область определения функции \( f(x) \): \[ x \in \left[-\frac{1}{2}, 1\right]. \]