Решить методом интервалов 2x2-x-1/8x2+7x-1>= 0

Чтобы решить неравенство \( \frac{2x^2 - x - 1}{8x^2 + 7x - 1} \geq 0 \) методом интервалов, следуем следующим шагам:

1. Найдем нули числителя и знаменателя.

   Для начала решим уравнение числителя: \[ 2x^2 - x - 1 = 0 \] Используем дискриминант \( D = b^2 - 4ac \): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] Нули числителя находятся по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{4} \] Получаем два корня: \[ x_1 = 1, \quad x_2 = -\frac{1}{2} \]

   Теперь найдем нули знаменателя: \[ 8x^2 + 7x - 1 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 7^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 49 + 32 = 81 \] Нули знаменателя: \[ x = \frac{-7 \pm 9}{16} \] Получаем два корня: \[ x_3 = \frac{1}{8}, \quad x_4 = -1 \]

2. Определим критические точки. Критические точки: \( -1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{8}, 1 \).

3. Составим интервалы.

   Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы: \[ (-\infty, -1), \quad (-1, -\frac{1}{2}), \quad (-\frac{1}{2}, \frac{1}{8}), \quad (\frac{1}{8}, 1), \quad (1, +\infty) \]

4. Тестируем каждый интервал.

   Подберем тестовые значения для каждого интервала и определим знак выражения:

   • Для интервала \( (-\infty, -1) \) (например, \( x = -2 \)): \[ \frac{2(-2)^2 - (-2) - 1}{8(-2)^2 + 7(-2) - 1} = \frac{8 + 2 - 1}{32 - 14 - 1} = \frac{9}{17} > 0 \]
   • Для интервала \( (-1, -\frac{1}{2}) \) (например, \( x = -0.75 \)): \[ \frac{2(-0.75)^2 - (-0.75) - 1}{8(-0.75)^2 + 7(-0.75) - 1} = \text{(положительное/отрицательное)} \]
   • Для интервала \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{8}) \) (например, \( x = 0 \)): \[ \frac{2(0)^2 - 0 - 1}{8(0)^2 + 7(0) - 1} = \frac{-1}{-1} = 1 > 0 \]
   • Для интервала \( (\frac{1}{8}, 1) \) (например, \( x = 0.5 \)): \[ \frac{2(0.5)^2 - 0.5 - 1}{8(0.5)^2 + 7(0.5) - 1} = \text{(положительное/отрицательное)} \]
   • Для интервала \( (1, +\infty) \) (например, \( x = 2 \)): \[ \frac{2(2)^2 - 2 - 1}{8(2)^2 + 7(2) - 1} = \frac{8 - 2 - 1}{32 + 14 - 1} = \frac{5}{45} > 0 \]

5. Соберем результаты.

   • Положительные интервалы: \( (-\infty, -1) \), \( (-\frac{1}{2}, \frac{1}{8}) \), \( (1, +\infty) \).

6. Запишем окончательный ответ. Учитывая, что в нулях числителя выражение равно 0, и в нулях знаменателя не определено, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, -1) \cup [-\frac{1}{2}, \frac{1}{8}) \cup (1, +\infty) \]

Таким образом, вы успешно решили неравенство. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить что-то ещё, не стесняйтесь спрашивать!